Структурные матрицы электрических цепей

ФОРМИРОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ПОДСИСТЕМЫ

Структурные матрицы электрических цепей

Любая программа машинногоанализа электрических схем может быть ориентирована на определенный набор схемных элементов, для которого она была разработана. Чем больший набор элементов допускает программа, тем более многофункциональной она становится. Однако, набор элементов, в любом случае, остается конечным. При разработке программы анализа схем силовой электроники используется набор элементов двух типов.

Параметрические элементы: резистор (R-ветвь), индуктивность (L-ветвь), емкость (С-ветвь), зависимые и независимые источники тока и напряжения (J-, Е-ветви). Каждой элемент описывается определенной характеристикой, задающей зависимость переменных (токов и напряжений) на его зажимах. Эти элементы определяют параметрическую часть схемы.

Структурные элементы [30]: идеальный ключ, идеальный трансформатор, идеальный фазовращатель, которые определяют структурные свойства схемы.

Физические процессы в электрических схемах описываются уравнениями двух видов:

уравнения ветвей

x_i,u = F(x_u,i); (3.1)

структурные уравнения

T×x_u,i = 0. (3.2)

Характеристика ветви F в общем виде может быть нелинейной (кусочно-линейной) и содержать интегро-дифференциальные операторы. В зависимости от вида характеристики, алгоритма формирования расчетной системы уравнений и формы ее представления, элементы схемы подразделяют на два подмножества i-ветви, в которых задающими переменными являются токи ветвей:

u = F_i (i) (3.3)

e-ветви, в которых задающими переменными являются напряжения ветвей

i = F_е (u) (3.4)

тогда векторы в (3.1) будут

x_i,u = col(i,u), x_u,i = col(u,i) (3.5)

Например, при описании схемы системой дифференциальных уравнений L-ветвь относится к i-ветвям , а С-ветвь к e-ветвям .

Структурные уравнения (3.2) соответствуют двум основным законам схемы: закону напряжений Кирхгофа (ЗНК)

B×u = 0 (3.6)

и закону токов Кирхгофа (ЗТК)

Q×i = 0, (3.7)

где В и Q соответственно структурные матрицы контуров и сечений.

Структурные уравнения являются линейными алгебраическими уравнениями и не зависят от характеристик элементов схемы. Структурные матрицы в общем виде являются целочисленными и содержат простые числа(1, -1, 0).

Основные понятия и определения теории графов

При составлении структурных матриц удобно пользоваться графом схемы. Теория графов и их применение к анализу электрических схем достаточно подробно освещены в работах[26,.31]. Поэтому для основательного изучения этого вопроса рекомендуется читателям обратиться к этим работам. Здесь же приводятся в краткой форме некоторые концепции и свойства графов, дается обзор структурных матриц, их взаимосвязь, т.е. те понятия, которые могут потребовать­ся при описании алгоритмов машинного анализа схем.

Граф схемы G представляет собой множество ветвей V и вершинY. Каждому элементу схемы соответствует ветвь графа. Каждому узлу соединения элементов в схеме соответствует вершина графа. Граф схемы может быть направленным и ненаправленным. В направленном графе каждая ветвь имеет стрелку в том направлении, в котором принимается положительное направление тока через эту ветвь. Эта стрелка указывает также положительное направление напряжения ветви - стрелка направлена от вывода с положительным потенциалом. На рис. 3.1 изображена схема (а), ее направленный (б) и ненаправленный граф (в).

Приведем ряд определений графа, которые потребуются в дальнейшем изложении. Подграфом графа называется подмножество ветвей графа V_iÎ V. Вершина и ветвь инцидентны друг другу, если вершина есть конечная точка ветви. Последовательностью ветвей являются ветви графа или подграфа, которые упорядочены так, что каждая пара соседних ветвей v_i, v_i+1, являются инцидентными общей вершине. Например; а, в, f, k, c, в, е, d на рис. 3.1. Кратность ветви - число обходов ветви в последовательности. В предыдущем примере ветвь "в" является двукратной, а остальные ветви однократными. Однократная последовательность содержит только ветви с кратностью, равной единице (например, а, в, е, d, к). Замкнутая однократная последовательность - это последовательность, в которой первая и последняя ветви имеют общую вершину (например: с, d, е, j, к, f, в). В противном случае однократная последовательность является разомкнутой. Степень вершины есть число ветвей, инцидентных этой вершине. Путь есть подграф, ветви которого образуют разомкнутую однократную последовательность, степень вершин в котором не превышает 2. Контур есть подграф, ветви которого образуют замкнутую однократную последовательность, степень всех вершин в котором равна 2. Граф является связным если существует путь между двумя любыми вершинами. Если это условие не выполняется, то граф является не связным. На рис. 3.2. изображена схема и ее граф, состоящие из двух изолированных подграфов. Деревом Т связного графа G называется подграф, который содержит все вершины графа, но не содержит контуров. Количество деревьев может быть конечное множество. На рис. 3.1,г изображено одно из множества деревьев графа. Ветви, принадлежащие дереву Т, называются ветвями дерева. Ветви, не принадлежащие дереву Т, называются хордами (связями). Все хорды, соответствующие данному дереву Т, образуют подграф, называемый дополнением дерева Т_C.

Можно показать, что для связного графа с n вершинами любое дерево имеет n - 1 ветвей. Если граф является несвязным и состоит из p изолированных подграфов, то дерево несвязного графа имеет n - р ветвей. Соответственно, количество хорд графа, имеющего общее количество ветвей q, равно q – n + p. Число r = n - р называется еще рангом графа. Число q – n + p называется связностью графа. Сечением называется такое множество ветвей графа G, удаление которых понижает ранг графа на единицу. Другими словами, сечение делит связной граф на два изолированных подграфа. Например, на рис.3.1,в ветви а, в, е, к образуют сечение, т.к. их удаление делит граф на два изолированных подграфа, а ранг графа станет равным 7 - 2 = 5. Приведем еще ряд определений теории графов, широко применяемые при анализе электрических схем. Граф G является неразделимым, если каждый подграф графа G имеет, по крайней мере, две вершины, общие с его дополнением. Все остальные графы разделимы. Примером разделимого графа является несвязный граф. Связной граф является разделимым, если он содержит, по крайней мере, один подграф, имеющий только одну вершину, общую с его дополнением. Например, граф, изображенный на рис. 3.3,а. Такая вершина называется вершиной сечения по которой связной граф разделяется на два несвязных подграфа. С неразделимостью графа тесно связано понятие циклической связности. Граф циклически связный, если его любые две вершины находятся в контуре.

Дуальные графы. Граф G₂ дуален графу G₁, если r₁ = q₂ a r₂ = q₁, т.е. ранг первого графа равен числу ветвей второго графа и наоборот. Графически дуальность графов можно пояснить таким образом, когда вершина одного графа, соответствует контуру другого графа (см. рис. 3.3,6). Дуальными графы могут быть только планарные. Граф G является планарным, если он может геометрически изображен на плоскости так, чтобы не было двух ветвей, имеющих общую точку, которая не являлась бы вершиной. На рис. 3.3,в изображен непланарный граф, который соответствует трехфазной мостовой схеме.

Приведенный здесь обзор основных понятий теории линейных графов имеет большое значение при анализе электрических цепей. Он позволяет читателю сформулировать наглядную геометрическую интерпретацию основных законов цепей: к контурам применим ЗНК, к сечениям применим ЗТК. На понятии дерева базируются большинство алгоритмов формирования систем линейно-независимых уравнений Кирхгофа. Каждому дереву Т графа G соответствует своя система линейно-независимых контуров и своя система линейно-независимых сечений. Или, как принято в литературе, система главных контуров и система главных сечений. Из определения дерева следует, что каждая хорда дополнения дерева Т_С замыкает путь по ветвям дерева, который является главным контуром этой хорды по ветвям относительно выбранного дерева. Системе хорд соответствует система главных контуров. Положительное направление обхода контура совпадает с направлением хорды Количество главных контуров равно q – n + p.

Главное сечение образуется следующим образом: удаление любой ветви дерева делит дерево на две части, соответственно множества вершин на два подмножества. Главное сечение образуется этой ветвью дерева и хордами, вершины которых принадлежат разным подмножествам. Положительное направление сечения выбирается согласно направлению ветви дерева. Количество главных сечений равно n + p.

Графы позволяют получить геометрическую интерпретацию структуры электрических схем. При машинном анализе схем используется алгебраическое отображение структуры схем с помощью следующих структурных матриц: матрицы инциденции А, матрицы контуров В, матрицы сечений Q.

Матрица инциденций. Для направленного графа с n узлами и q ветвями матрицей инциденций является матрица размером n ´ q

A_a = [a_ij],

где a_ij = 1, если ветвь j инцидентна узлу i и стрелка направлена от узла i;

a_ij = -1, если ветвь j инцидентна узлу i и стрелка направлена к узлу i;

a_{ij =} 0, если ветвь j не инцидентна узлу i. Например, для графа рис.3.1,b:

Т.к. каждая ветвь инцидентна двум вершинам, то каждый столбец структурной матрицы содержит только два ненулевых элемента (+1 и -1). Следовательно, сумма элементов в каждом столбце равна нулю. Сумма всех строк матрицы также равна нулю, т.е. строки структурной матрицы А линейно зависимы (одна из них равна сумме остальных строк с обратным знаком). Вычеркнув одну из строк матрицы А, получим сокращенную матрицу А размером (n-1)´q с линейно-независимыми строками. Эта матрица именуется далее редуцированной матрицей. инциденций. Матрицу А можно представить следующим образом:

A = [A_T | A_L] (3,8)

где субблок A_T содержит столбцы, соответствующие ветвям дерева, а субблок А_L - хордам. Из матричной алгебры известно, что для любой n´m матрицы максимальное количество линейно независимых строк и линейно независимых столбцов равны. Можно показать, что линейно независимые столбцы матрицы А соответствуют ветвям дерева, т.е. столбцы субблока линейно независимы. Рассмотрим субграф Т, состоящий из ветвей дерева. Для этого субграфа матрица А_T является редуцированной матрицей инциденций размером (n-1)´(n-1). Т.к. субблок Т связан, то n-1 строк матрицы А_T линейно независимы. Соответственно n-1 столбцов матрицы А_T линейно независимы.

Матрица контуров. Для направленного графа G с q-ветвями и n_k контурами матрицей контуров является матрица размером n_k´q

B_a = [b_ij]

где b_ij = 1, если ветвь j входит в контур i и направление ветви совпадает с направлением обхода контура; b_ij = -1; если ветвь j входит в контур i и направление ветви противоположно направлению обхода контура; b_ij = 0, если ветвь j не входит в контур i. Количество контуров может быть сравнительно большим и матрица B_a содержит линейно независимые строки. Ниже будет показано, что ранг матрицы контуров связного графа равен q-n+1.

Из полной матрицы контуров можно выделить субматрицу с линейно независимыми строками, которая называется базовой матрицей контуров В_б. Извсех базовых матриц при анализе цепей широко используется матрица главных контуров В. При соответствующей расстановке столбцов и строк, матрица главных контуров может быть представлена в канонической форме

B = [B_T | I] (3.9)

где: Вт субблок "контуры-ветви дерева" порядка (q-n+1)´(n-1); I - единичный субблок порядка (q-n+1)´(q-n+1). Из присутствия единичной матрицы следует, что строки матрицы В линейно независимы.

Если порядок следования столбцов матриц А и В одинаков, т.е. они взаимно соответствуют одним ветвям, то произведение строки матрицы А на транспонированную строку В равно нулю. Это исходит из определения контура как замкнутой однократной последовательности ветвей со степенью вершин равной 2. Если узел j принадлежит контуру i, то узлу j и контуру i инцидентны две общие ветви. Причем ориентация их относительно узла и контура противоположно. Тогда указанное выше произведение содержит два простых слагаемых (±1) с разным знаком. Отсюда следует ортогональность матриц А, В,

А × В' = 0 или В × А' = 0 (3.10)

где штрихом обозначены транспонированные матрицы.

Теперь можно подтвердить утверждение, что любая матрица В_а содержит

q – n + 1 линейно независимых строк. Пусть матрица В_a имеет количество строк больше q – n + 1, которую можно расчленить следующим образом

(3.11)

Тогда с учетом (3.8)

(3.12)

отсюда получим

(3.13)

или

; (3.14)

т.к. , то матрица А¢_T имеет обратную. Умножим (3.14) на , получим:

В_2T = В_2L×В_T,

следовательно

,

т.е. строки матрицы В₂ является линейной комбинацией строк В.

Для графа рис. 3.1,6 при выбранном дереве, состоящем из ветвей b, e, d, j, k, i, матрица главных контуров имеет вид:

Здесь приняты обозначения главных контуров по обозначениям соответствующих хорд.

Матрица сечений. Для направленного графа G с q ветвями и n_C сечениями матрицей сечении является матрица размером n_C ´ q

Q_a = [q_ij],

где q_ij = 1, если ветвь j входит в сечение i и направление ветви совпадает c прнятым положительным направлением сечения; q_ij = -1, если ветвь j входит в сечение i и направление ветви противоположно положительному направлению сечения; q_ij = 0, если ветвь j не входит в i-ое сечение. Ранг матрицы сечения равен n-1, т.е. из полной матрицы сечения Q_a можно выделить субматрицу с n - 1 линейно независимыми строками, которая называется базовой матрицей сечения Q_б. Из всех базовых матриц при анализе цепей широко используется матрица главных сечений. При соответствующей расстановке строк и столбцов, матрица главных сечений может быть представлена в канонической форме

Q = [I | Q_L] (3,15)

где I - единичный субблок размером (n-1)´(n-1); Q_L- субблок "сечения- ветви хорды" размером (n-1)´(q-n+1). Наличие единичного блока означает также то, что строки матрицы Q являются линейно независимыми.

Для графа рис. 3.1,6 при выбранном дереве, состоящем из ветвей b, e, d, j, k, i, матрица главных сечений имеет вид:

Обозначения главных сечений совпадают с обозначениями соответ­ствующих ветвей дерева.

Легко показать, что любые контур и сечение имеют количество общих ветвей равным 2m [26]. Из них m ветвей имеют одинаковую ориентацию и в контуре и в сечении, т.е. их направление либо совпадает, либо противоположно с положительным направлением сечения и контура. Другие m ветвей имеют разную ориентацию в контуре и в сечении. Если, приэтом, порядок следования столбцов матриц В и Q одинаков, то произведение строки одной матрицы на транспонированную строку другой матрицы имеет m положительных и m отрицательных слагаемых, общая сумма которых равна нулю. Отсюда следует ортогональность матриц В и Q:

B × Q¢ = 0 или Q × B¢ = 0 (3.16)

где штрихом обозначена транспонированная матрица. Из (3.9, 3.15) следует:

следовательно

B_T = -Q¢_L или Q_L = -B¢_T (3.17)

Далее примем обозначение

T = B_T = -Q_L (3.18)

Или

Покажем, что любая матрица Q содержит (n-1) линейно независимых строк. Представим Q_a

Тогда

,

отсюда

B¢_T + Q_L = 0, Q_2T × B¢_T + Q_2L = 0;

Или

Q_2L = Q_2T × Q_L

Тогда

т.е. строки матрицы Q₂ являются линейной комбинацией строк Q.

В соответствии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, инцидентных данной вершине равна нулю. Пусть токи ветвей образуют вектор столбец i порядка q´1. Если порядок следования столбцов матрицы А и токов ветвей в векторе совпадают, т.е. взаимно соответствуют одним и тем же ветвям, то уравнение ЗТК в обобщенной форме имеет вид [26]:

A×i = 0 (3.19)

Применительно к сечениям первый закон Кирхгофа трактуется следующим образом: сумма токов сечения равна нулю. Обобщенная форма записи ЗТК имеет вид [26]:

Q×i_v = 0 (3.20)

Второй закон Кирхгофа устанавливает, что алгебраическая сумма напряжений в каждом контуре схемы равна нулю. Пусть напряжения всех ветвей образуют вектор столбец u порядка q´1. Если порядок следо­вания столбцов матрицы А и напряжений ветвей в векторе совпадают, т.е. взаимно соответствуют одним и тем же ветвям, то уравнение ЗНК в обобщенной форме имеет вид[26]:

B×u = 0 (3.21)

Т.к. сумма линейно независимых контуров и сечений равна q. Таким образом, ранг системы структурных уравнений (3.20, 3.21) равен q.

Множество ветвей дерева разбивается на два подмножества - ветви дерева и хорды (ветви дополнения). Соответственно этому вектор напряжений (токов) ветвей можно разбить на два подвектора - вектор напряжений (токов) ветвей дерева и вектор напряжений (токов) хорд:

u = (u^D, u^X)¢, i = (i^D, i^X)¢.

Тогда из (3.9, 3.15, 3.20, 3.21) следует:

u^X = -B_T×u^D (3.22)

или

u^X = Q¢_L×u^D = -T¢×u^D (3.23)

i^D = -Q_L×i^X (3.24)

или

i^D = B¢_T×i^X = T×i^X (3.25)

Из (3.23 и 3.25) следует, что напряжение всех ветвей схемы можно выразить через напряжение ветвей дерева, а токи всех ветвей через токи хорд (или контурные токи).

или u = Q¢×u^D (3.26)

или i = B¢×i^X (3.27)

Уравнение (3.27) является частным случаем более общего контурного преобразования [2б], описываемого следующим выражением:

I = B_a×i_K (3.28),

где В_a - некоторая матрица контуров; i_K - вектор контурных токов.

Аналогично уравнение (3.26) является частным случаем более общего преобразования, называемого преобразованием сечений, и описывается формулой:

u = Q_a×u_S (3.29)

где Q_a - некоторая матрица сечений; u_S - вектор напряжений сече­ний.

Переменные i_K и u_S являются координатами, определяющими состояние схемы в q-мерном векторном пространстве.

Машинный анализ электрических схем заключается в выборе фундаментального дерева, в получении и преобразовании структурных матриц, формировании на их основе расчетной системы уравнений. В [12] описана реализация алгоритма получения структурных матриц В, Q с помощью преобразования матрицы инциденции А. Сам алгоритм получения матрицы А достаточно прост. Исходной информацией для него является таблица соответствия, которая представляет собой таблицу, содержащую обозначения ветвей и инцидентных им вершим, т.е. это, по сути, та же матрица инциденций в сжатой табличной форме. Развернуть ее в матрицу не представляет труда.

Учитывая, что столбцы субблока А_T (3.8) являются линейно независимыми и они соответствуют ветвям дерева, то выделение ветвей дерева сводится к выделению в матрице А линейно независимых столбцов. Для поиска линейно независимых столбцов можно воспользоваться методам Гаусса[32]. Из (3.8, 3.9, 3.10) следует:

т.к. [A_T] ¹ 0, то (3.30)

Дополняя матрицу Т единичными субблоками, можно получить матрицу главных контуров и матрицу главных сечений.

Итак, матричный метод получения В и Q состоит из следующих шагов:

1) формирование матрицы инциденции А из таблицы соответствия;

2) выделение линейно независимых столбцов в матрице А;

3) обращение субблока ;

4) выполнение матричного произведения .

Хотя этот метод прост в реализации, однако он неэффективен. Это связано с необходимостью хранения промежуточных матриц А и , которые являются разреженными (слабозаполненными ненулевыми элементами) и произведение разреженных матриц . Размер матрицы А и равен (n´q) и (n´n), коэффициент заполнения А равен

Итак, полная система уравнений электрической схемы включает уравнения ветвей (3.1) и структурные уравнения (3.6, 3.7). Эта система содержит 2q скалярных уравнения. В ряде случаев полную систему уравнений целесообразно преобразо­вать к системе порядка q, записанной относительно совместной сиcтемы координат - контурных токов и напряжений сечений. Расположим ветви графа в таком положении, чтобы сначало следовали i-ветви, а затем е-ветви. Представим уравнения ветвей в обобщенной оператор­ной форме:

(3.31)

где Z_i, Y_e - соответственно матрицы обобщенных сопротивлений i-ветвей и проводимостей e-ветвей; J, Е - вектор значений задаю­щих источников в операторной форме.

В соответствии с принятым расположением ветвей структурные уравнения (3.6, 3.7) можно записать в следующей форме:

(3.32)

где В_i, B_e - соответствующие субблоки матрицы контуров;

Q_i, Q_e - соответствующие субблоки матрицы сечений.

Подставив в (3.32) уравнения ветвей (3.31) и используя контурное преобразо­вание (3.28) и преобразование сечения (3.29) получим результирую­щую систему уравнений в совместной системе координат (I_К, U_S):

(3.33)

Или в матричной форме:

(3.34)

Система (3.34) содержит q уравнений

Определив по (3.34) переменные I_к, U_s, напряжения и токи всех ветвей определяются по (3.28, 3.29).

Если графсхемы содержит только i-ветви, то уравнение (3.34) вырождается в результирующее уравнение относительно однородной сис­темы координат (I_к) -уравнение контуров:

B×Z×B¢×I_к = -B×E (3.35)

Система (3.35) содержит n – q + 1 уравнение.

Если граф схемы содержит только е-ветви, то уравнение (3.34) вырождается в результирующее уравнение относительно однородной системы координат (U_S) - уравнение сечений

Q×Y×Q¢×U_s =-Q×J (3.36)

В частном случае, когда ветвями дерева являются только е-ветви, а хордами i-ветви, субблоки B_i, Q_e являются единичными (3.9, 3.15). Тогда система (3.34) примет вид:

(3.37)

Использование той или иной формы записи результирующей систе­мы уравнений и, соответственно, ее порядок зависят от выбранного метода анализа, распределения ветвей графа между е- и i-ветвями.

Особенностью больших схем является то, что соответствующие им структурные матрица являются разреженными, т.е. слабозаполненными ненулевыми элементами. Математические операции с такими матрицами являются неэффективными из-за действий с нулевыми элементами. Кроме большого времени вычислений может возникнуть трудность с раз­мещением их в памяти машины. Например, уже для сравнительно небольшой схемы, изображенной на рис. 3.1,а коэффициент заполнения (отношение количества ненулевых элементов к общему количеству элементов) матрицы контуров В равен 17/40. Конечно, хранить в памяти ма­шины полные матрицы контуров и сечений нет необходимости. Достаточ­но хранить только субблок Т размером (q-n+1)´(n-1). Избежать трудностей можно, если в памяти машины вместо (q-n+1)´(n-1) элементов этого субблока хранить только ненулевые элементы. Одной из форм такого хранения является представление матриц контуров и сечений структурными списками. Структурные списки используются двух видов. В первом случае элементами списков являются номера ветвей с соответствующим знаком. Во втором случае элементами списков являются адреса ненулевых элементов по номеру столбца (строки) матрицы с соответствующим знаком. Например, матрица главных контуров представлена контурными списками вида:

где v^X - номер ветви хорды или номер строки матрица контуров; v^D- номер ветви дерева или номер столбца матрицы контуров.

Аналогично может быть представленаматрица главныхсечений. Такое представление возможно только для целочисленных матриц, элементами которых являются простые числа 0, I, -I. При таком пред­ставлении структурных матриц умножение на них заменяется последовательным сложением тех элементов вектора сомножителя, которые соответствуют номеру ветви (столбца).

Дата добавления: 2015-08-03