Б. Критерий проверки необходимых условий экстремума второго порядка.

1. Для того чтобы матрица Гессе Н (х *) была положительно полуопределенной (Н (х *) ≥ 0) и точка х * может быть являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры определителя матрицы Гессе были неотрицательны.

2. Для того чтобы матрица Гессе Н (х *) была отрицательно полуопределенной (Н (х *) ≤ 0) и точка х * может быть являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры четного порядка были неотрицательны, а все главные миноры нечетного порядка — неположительны.

Второй способ (с помощью собственных значений матрицы Гессе).

Определение 2. 3. Собственные значения λ i, i = 1, …, n, матрицы Н (х *) размера (n × п) находятся как корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения п -й степени):

Замечание 2.1. Собственные значения вещественной симметрической матрицы Н (х *) вещественны.

Оба способа проверки достаточных и необходимых условий экстремума второго порядка приведены в табл. 2.1.

Алгоритм решения задачи

Шаг 1. Записать необходимые условия экстремума первого порядка в форме (2.3) и найти стационарные точки х * в результате решения системы n в общем случае нелинейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Для численного решения системы могут использоваться методы простой итерации, Зейделя, Ньютона.

Шаг 2. В найденных стационарных точках х * проверить выполнение достаточных, а если они не выполняются, то необходимых условий второго порядка с помощью одного из двух способов (см. табл. 2.1).

Шаг 3. Вычислить значения f (х *) в точках экстремума.

Описанный алгоритм отображен на рис. 2.1, где показана последовательность действий в случаях выполнения и невыполнения соответствующих условий экстремума при применении первого способа.

Дата добавления: 2015-08-03