Необходимые и достаточные условия в задаче поиска условного экстремума при ограничениях типа равенств

Пример 3.5. Найти экстремум функции на множестве X = { х | х 1+ х 2– 2 = 0}: g 1(x) = x 1+ х 2– 2 = 0.

Проверим условие регулярности. Так как ∇ g 1(x) = (l, l) T ≠ 0, то условие выполняется (см. определение 3.6). Поэтому будем пользоваться классической функцией Лагранжа (3.3).

1. Составим функцию Лагранжа:

2. Выпишем необходимые условия экстремума первого порядка:

3. Решение системы: х 1*= х 2*= 1, λ1*= –2 — условно-стационарная точка.

4. Проверим достаточные условия экстремума:

в) выразим дифференциал dx 1через dx 2: dx 1= – dx 2подставим в d 2 L;

г) так как d 2 L (x *, λ1*) = 4 dx 22> 0 при dx 2≠ 0, то в точке x * = (l, l) T — регулярный локальный условный минимум (строка 1 в табл. 3.1). Графическое решение задачи приведено на рис. 1.7.

5. Подсчитаем значение функции в точке условного экстремума: f (x *) = 2.

Рис. 1.7

Условный экстремум при ограничениях типа неравенств

Дата добавления: 2015-08-03