Замечания 1.5.

1. Если неравенство (1.3) выполняется с константой L, то оно справедливо для бесконечного множества констант, больших L. Как правило, представляет интерес минимальная из констант Липшица.

2. Из условия (1.3) следует непрерывность функции f (x) на отрезке [ а, b ]. Если кроме того функция имеет на [ а, b ] непрерывную производную, то константа Липшица

3. Условие (1.3) означает, что модуль углового коэффициента любой хорды графика функции f (x) не превосходит L.

Пример 1.20. Проверить, удовлетворяют ли условию Липшица следующие функции: a) f (x) = 2 х на отрезке [0, 1]; б) f (x) = sin x на отрезке [0, π ]; в) на отрезке [0, 1].

Воспользуемся определением 1.11 и п.2 замечаний 1.5:

а) функция f (x) = 2 х удовлетворяет условию Липшица на отрезке [0, 1] с константой L = 2;

б) функция f (x) = sin х удовлетворяет условию Липшица на отрезке [0, π ] с константой

в) функция не удовлетворяет условию Липшица на отрезке [0, 1], так как при х → + 0 угловой коэффициент касательной к графику неограниченно возрастает, а переходя в (1.3) к пределу при | х ′ – х ″| → 0, можно заключить, что если в некоторой точке существует касательная к графику функции f (x), то модуль ее углового коэффициента не может превышать L.

· Тема 2. Условия экстремума функций

Дата добавления: 2015-08-03