Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 18.72 - 18.77.

При вычислении вероятностей, связанных с классической схемой, часто используют формулы комбинаторики. Рассмотрим опыт с выбором элементов из множества, содержащего элементов. Результат такого опыта называют выборкой из элементов по или просто из по . Возможны следующие варианты.

а) Каждый выбранный элемент после выбора не участвует в дальнейшем выборе. Тогда говорят о выборке без повторений, т.к. в такой выборке все элементы различны (не повторяются).

б) Выбранный элемент фиксируется и возвращается в группу из элементов, т.е. участвует в дальнейшем выборе. Таким образом, один и тот же элемент может попасть в выборку и более одного раза. В этом случае получается выборка с повторениями.

Далее, порядок выбора элементов можно не учитывать (тогда выборка называется сочетанием) или учитывать (тогда получаем размещение).

Таким образом, получаются четыре основные разновидности выборки:

1. Сочетание из по без повторений или просто сочетание из по .

2. Размещение из по без повторений или просто размещение из по .

3. Сочетание из по с повторениями.

4. Размещение из по с повторениями.

Часто рассматривают частный случай размещения из по без повторений, когда . Такая выборка называется перестановкой из элементов.

Опыт с выбором элементов из множества, состоящего из элементов легко представить себе следующим образом. Пусть в урне лежат различимых (например, пронумерованных) шаров. Извлекая из урны шаров, мы получаем выборку из по .

При этом если извлекаемые шары в урну не возвращаются, а откладываются в сторону без учёта прядка их поступления, то получается сочетание (без повторений). Если же извлекаемые шары выкладывают в ряд в порядке извлечения, то образуется размещение (без повторений). Далее, после каждого извлечения можно записывать, какой шар был извлечён (шары различимы!) и возвращать извлечённый шар в урну. Тогда сформируется либо сочетание с повторениями (если в записях не фиксируется порядок поступления шаров из урны), либо размещение с повторениями (если записи содержат информацию не только о том, какие шары выбраны, но и в каком порядке).

Различные перестановки из элементов отличаются друг от друга тем, что одни и те же элементов располагаются в выборках в разном порядке.

Приведём основные формулы комбинаторики.

1. Число сочетаний из по

. (1.3.3)

2. Число размещений из по

. (1.3.4)

При получаем число перестановок из

. (1.3.5)

3. Число сочетаний из по с повторениями

. (1.3.6)

4. Число размещений из по с повторениями

. (1.3.7)

Перечислим основные правила использования этих формул с учётом выводов, сделанных ранее (см. примеры 1.3.2 – 1.3.7 и замечания к ним).

1. При выборе нужной формулы для нахождения общего числа исходов и числа благоприятствующих исходов в большинстве случаев достаточно ответить на два вопроса по поводу условий опыта. Первый из них: выбор элементов проводится с возвращением или без него (т.е. получается выборка с повторениями или нет), а второй – учитывается порядок элементов в выборке или нет (выборка является размещением или сочетанием).

2. Если выбор проводится с возвращением, то при отсутствии указаний на особые условия проведения опыта порядок элементов в выборке следует учитывать, иначе элементарные исходы не будут равновозможными. Если же выбор производится без возвращения, то порядок элементов можно учитывать или не учитывать. Обычно он учитывается только в случаях, когда появление рассматриваемого события зависит от порядка элементов.

3. Если при подсчёте общего числа исходов порядок элементов учитывается (не учитывается), то его следует учитывать (не учитывать) и при подсчёте числа благоприятствующих событию исходов .

Дата добавления: 2015-07-26