Задание для самостоятельной работы. 1. Решите задачи: [1], №№ 18.1 – 18.8.

1. Решите задачи: [1], №№ 18.1 – 18.8.

Опишем основные понятия, связанные со случайными событиями.

Для иллюстрации этих понятий будем использовать события, соответствующие случайному опыту из примера 1.2.1 (бросание одной правильной шестигранной игральной кости). В этом случае элементарными являются исходы {выпало очков}, .

1. Событие , состоящее из всех элементарных исходов, соответствующих данному случайному опыту, называется достоверным событием. Таким образом, достоверное событие обязательно происходит в данном опыте.

.

2. Событие , не содержащее ни одного элементарного исхода, называется невозможным событием. Очевидно, невозможное событие никогда не происходит в данном опыте.

{выпало 10 очков}= – невозможное событие, т.к. не существует элементарных исходов данного опыта, приводящих к появлению события А.

3. Событие влечёт за собой событие (обозначение: ), если любой элементарный исход, входящий в , принадлежит и событию . Таким образом, если , то при каждом появлении события происходит и событие .

Если и , то и называют эквивалентными событиями и пишут .

, {выпало нечётное число очков}= .

4. Суммой событий и называется событие , состоящее из тех элементарных исходов, которые входят хотя бы в одно из подмножеств или . Итак, событие происходит тогда и только тогда, когда появляется хотя бы одно из событий или В.

, .

5. Произведением событий и называется событие , состоящее из тех и только тех элементарных исходов, которые принадлежат и подмножеству , и подмножеству , т.е. событие происходит тогда и только тогда, когда события и появляются вместе.

, .

6. Разностью событий и называется событие , состоящее из тех элементарных исходов, которые входят в подмножество , но не принадлежат подмножеству . Таким образом, событие происходит тогда и только тогда, когда происходит событие , но не происходит событие .

, .

7. События и называются несовместными событиями, если не существует элементарных исходов, принадлежащих подмножествам и одновременно. Другими словами, события и несовместны, если их одновременное появление невозможно, т.е. . В противном случае события и называют совместными.

, и несовместны, .

8. Событие , состоящее из всех элементарных исходов, не входящих в подмножество , называют противоположным к событию . Таким образом, есть событие, состоящее в том, что событие не произошло.

.

Для наглядного представления множеств и событий используют диаграммы Венна. На них пространство изображается в виде прямоугольника, в котором каждая точка соответствует элементарному исходу. События (подмножества) изображаются в виде областей этого прямоугольника.

Таблица 1.2.1

Наименование операции	Для множеств	Для событий	Диаграмма Венна
АÌВ - отношение следования	Множество А есть подмножество множества В	Событие А влечет за собой событие В: если произошло А, то появляется и В
А+В - сумма	АÈВ–объединение множеств А и В	Сумма событий - произошло хотя бы одно из событий А или В
АВ – произведение	AÇB - пересечение множеств А и В	Произведение событий - события А и В произошли вместе
А-В - разность	A \ B - разность множеств А и В	Разность cобытий - произошло событие А, но не произошло В
- отрицание	дополнение множества А до пространства	Противоположное событие -событие А не произошло

Предположим, что опыт состоит в случайном выборе точки в прямоугольнике. Тогда, если выбранная точка попадает в изображённую на диаграмме область, то происходит соответствующее событие. Соответствие некоторых операций над событиями и множествами показано в табл. 1.2.1.

Рассмотрим свойства операций над событиями.

1. Коммутативность сложения и умножения:

;.

2. Ассоциативность сложения и умножения:

; .

3. Дистрибутивность:

а) умножения относительно сложения

;(1.2.1)

б) сложения относительно умножения

.(1.2.2)

Свойство (1.2.1) позволяет «раскрывать скобки», как в обычной алгебре действительных чисел, а из (1.2.2) следует, что свойства операций сложения и умножения для чисел и событий различаются.

Дата добавления: 2015-07-26