Пример 1.3.7.

Для опыта, описанного в примере 1.3.3 (выбор двух цифр из четырёх без возвращения) найти вероятность событий {сумма цифр не меньше 6} и {число, составленное из цифр в порядке их выбора, превосходит 40}.

◄Предположим, что мы решили сначала найти . Тогда по соображениям, изложенным в решении примера 1.3.6, порядок цифр следует учитывать, поэтому , , (см. пример 1.3.6).

Далее, находя , мы можем ошибочно рассуждать так. Поскольку событие связано с тем же опытом, общее число элементарных исходов остаётся неизменным: . А при нахождении будем считать, что порядок цифр не важен, т.к. опыт состоит в выборе цифр без возвращения и появление события не зависит от порядка цифр. Тогда {(2 4), (3 4)}, , .

Правильное решение: при нахождении общего числа исходов мы учитывали порядок цифр (не важно, по какой причине). Поэтому порядок цифр необходимо учитывать и при подсчёте числа благоприятствующих исходов: {(2,4), (3,4), (4,2), (4,3)}, т.е. . Окончательно, , см также пример 1.3.5.►

Упражнения

1.3.1. Из урны, в которой лежат белых и чёрных шаров, наудачу выбирают один шар. Найти вероятность того, что этот шар - белый.

1.3.2. Из урны, в которой лежат белых и чёрных шаров, наудачу выбирают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. Затем из урны выбирают второй шар. Найти вероятность того, что и этот шар - белый.

1.3.3. Из урны, в которой лежат белых и чёрных шаров, наудачу выбирают один шар и, не глядя, откладывают его в сторону. Затем из урны выбирают второй шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что и первый шар, извлечённый из урны, - белый.

1.3.4. Из урны, в которой лежат белых и чёрных шаров, наудачу выбирают без возвращения один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятность того, что этот, оставшийся в урне шар, - белый.

1.3.5. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятности следующих событий: {появление чётного числа очков}, {появление числа очков, большего 5}, {появление не более 5 очков}.

1.3.6. Игральную кость подбрасывают два раза. Найти вероятность того, что оба раза выпадет одно и то же число очков.

1.3.7. Бросают одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: {сумма выпавших очков равна 8}, {произведение выпавших очков равно 8}, {сумма выпавших очков больше, чем их произведение}.

1.3.8. Бросают две монеты. Сравнить вероятности событий {монеты легли одинаковыми сторонами} и {монеты легли разными сторонами}.

Ответы к упражнениям

1.3.1. .

1.3.2. .

1.3.3.

1.3.4.

1.3.5. ; ; .

1.3.6. .

1.3.7. , , .

1.3.8. .

При подсчёте количеств элементарных исходов и часто используют следующее утверждение (его легко доказать методом математической индукции).

Пусть даны групп элементов, причём -я группа содержит элементов. Опыт состоит в выборе элементов – по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число возможных способов выбора определяется основной формулой комбинаторики

. (1.3.2)

Дата добавления: 2015-07-26