Составляем дифференциальное уравнение гармонических колебаний и находим период колебаний

Пружина жесткостью k одним концом присоединена к оси колеса массы m, которое способно катиться без проскальзывания, а другим концом присоединена к стенке. Каков период колебаний системы? Масса колеса однородно распределена по ободу.

Решение

1. Введем систему отсчета, расположив координатную ось горизонтально. Ноль на оси координат выберем в таком положении центра колеса, когда пружина не деформирована. При таком выборе нуля деформация пружины и координата центра колеса совпадают .

2. Полная механическая энергия системы складывается из потенциальной энергии упруго деформированной пружины , кинетической энергии поступательного движения колеса и кинетической энергии вращательного движения колеса .

Момент инерции колеса равен . Тогда .

Колесо катится без проскальзывания, следовательно, скорость вращательного движения точек на ободе равна скорости поступательного движения колеса, т.е. скорости центра колеса . Тогда .

При движение колеса без проскальзывания полная механическая энергия системы остается неизменной:

3. Дифференцируем выражение по времени:

4. Учтем, что скорость поступательного движения центра колеса – это производная от координаты . Тогда производная от скорости будет второй производной от координаты :

Введем обозначение и получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний . Колесо, прикрепленное к пружине, совершает гармонические колебания.

5. Циклическая частота колебаний системы

6. Период колебаний системы

Дата добавления: 2015-07-24