Составляем дифференциальное уравнение гармонических колебаний и находим период колебаний

Маятник представляет собой груз на легком стержне длины L, к середине которого прикреплена горизонтальная пружина жесткости k. Докажите, что при малых отклонениях от вертикали колебания маятника будут гармоническими. Чему равен период этих колебаний?

Решение

1. Выведем маятник из положения равновесия, отклонив его на малый угол φ. На маятник будут действовать сила тяжести груза , сила упругости пружины , приложенная в точке прикрепления пружины к стержню, и сила реакции опоры в точке А. Силы тяжести и упругости будут создавать вращающий момент относительно точки А. Вращающий момент силы реакции опоры относительно точки А равен нулю, ибо эта сила приложена в точке А.

2. Записываем основной закон динамики вращательного движения, учитывая, что сила тяжести и сила упругости создают вращающие моменты одного направления

3. Момент силы тяжести с учетом малости угла отклонения φ равен . Знак «-» поставлен потому, что угол отклонения φ, как это видно из рисунка, отрицательный, а вращение под действием силы тяжести должно происходить в положительном направлении отсчета углов.

4. Момент силы упругости с учетом малости угла отклонения φ равен

Деформация пружины , с учетом этого .

5. Момент инерции материальной точки .

6. Учтем, что угловое ускорение есть вторая производная от угла поворота . Тогда уравнение (*) примет вид

7. После преобразований и введения обозначения получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний . Следовательно, при малых углах отклонения маятник совершает гармонические колебания.

8. Циклическая частота колебаний

9. Период колебаний .

Дата добавления: 2015-07-24