Подведем итоги. В крайнем положении – это точки остановки маятника – скорость и кинетическая энергия

В крайнем положении – это точки остановки маятника – скорость и кинетическая энергия маятника равны нулю. Отклонение маятника от положения равновесия максимально (и равно амплитуде). Деформация пружины максимальна, модуль силы упругости, ускорения и потенциальная энергия упругой деформации пружины максимальны. Полная энергия системы состоит только из потенциальной энергии.

В положении равновесия сила, под действием которой происходят колебания, обращается в ноль. Согласно второму закону Ньютона ускорение тоже обращается в ноль. Скорость и кинетическая энергия максимальна. Потенциальная энергия минимальна.

При переходе из крайнего положения в положение равновесия скорость и кинетическая энергия груза растут, а деформация пружины, модуль силы, ускорения и потенциальная энергия систему уменьшаются.

В процессе движения из положения равновесия в крайнее положение растут деформация пружины, модуль силы упругости и ускорения, потенциальная энергия упругой деформации. Скорость и кинетическая энергия груза уменьшаются.

	Крайнее положение	→	Положение равновесия	→	Крайнее положение
Отклонение от положения равновесия	Max	Уменьшается		Увеличивается	Max
Деформация пружины	Max	Уменьшается		Увеличивается	Max
Модуль силы упругости	Max	Уменьшается		Увеличивается	Max
Модуль ускорения	Max	Уменьшается		Увеличивается	Max
Модуль скорости		Увеличивается	Max	Уменьшается
Кинетическая энергия		Увеличивается	Max	Уменьшается
Потенциальная энергия	Max	Уменьшается	Min	Увеличивается	Max

1.4 Фазовая траектория*.

Состояние частицы полностью характеризуется заданием ее координат и скоростей . Почему? Координаты тела определяют потенциальную энергию взаимодействия тела с другими телами, а скорости – импульс тела и его кинетическую энергию. Именно поэтому хочется иметь наглядное изображение движения тела, в нашем случае маятника, позволяющее «увидеть» состояние колебательной системы в любой момент времени.

Задача решается несложно, если в декартовой системе координат по оси абсцисс откладывать координату тела, а по оси ординат – соответствующую проекцию скорости. Такая координатная плоскость называется фазовой плоскостью. Состояние тела на фазовой плоскости задается изображающей точкой, координаты которой и . С течение времени и тела изменяются, следовательно, точка, изображающая состояние тела на фазовой плоскости, перемещается, описывая так называемую фазовую траекторию.

В случае гармонического осциллятора координата и проекция скорости тела изменяются с течением времени следующим образом

Отсюда несложно получить уравнение фазовой траектории:

Возведем обе части каждого уравнения в квадрат и сложим:

Это уравнение эллипса с полуосями А и . Фазовая траектория гармонического осциллятора выглядит следующим образом:

То, о чем мы говорили ранее, теперь стало наглядно. Явно видно, что движение тела ограничено в пространстве – оно колеблется на отрезке от –А до А. Проекция скорости тела тоже принимает ограниченные значения от - до .

Вспомним, что амплитуда колеблющегося тела определяется энергией, сообщенной системе при выведении ее из положения равновесия:

Очевидно, что сообщение колебательной системы большей энергии при выведении ее из положения равновесия приведет к увеличению амплитуды колебаний и максимального значения скорости. Фазовая траектория по-прежнему останется эллипсом, пропорционально увеличатся только его полуоси. Мы получаем семейство фазовых траекторий, отличающихся амплитудой колебаний вследствие отличия энергий, сообщенных системе.

По существу, фазовая траектория - это закон сохранения механической энергии.

Нетрудно показать, что выражение для закона сохранения энергии преобразуется к виду (5). Для этого достаточно обе части равенства разделить на Е и вспомнить связь между полной энергией системы и амплитудой колебаний:

Если энергию колебательной системы каким-либо образом увеличивать, размах колебаний будет возрастать – колебания будут «раскачиваться». Фазовая траектория при этом будет «раскручиваться».

Если по каким-либо причинам энергия колебательной системы будет уменьшаться, размах колебаний будет уменьшаться. В этом случае колебания будут затухать. Фазовая траектория будет все больше «скручиваться».

Дата добавления: 2015-07-24