Сумма целых неотрицательных чисел существование и единственность суммы

Й семестр

Лекция № 28. ОПЕРАЦИИ НАД ЦЕЛЫМИ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ (КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ).

Контрольные вопросы:

1. Определение суммы двух целых неотрицательных чисел. Операция сложе­ния.

2. Существование и единственность суммы.

3. Законы сложения.

4. Произведение двух целых неотрицательных чисел. Операция умноже­ния.

5. Существование и единственность произведения.

6. Законы умножения.

7. Определение произведения двух целых неотрицательных чисел.

8. Связь с начальным курсом математики

Литература: (2) гл. II, 12 пп 54-56; (3) гл. III, §§ 13, 15; (4) гл. II, 10-15; (5) гл. II, 5 пп 38-43; (6) гл. VIII, с. 240-249.

Сумма целых неотрицательных чисел существование и единственность суммы

Определение: Суммой целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число a + b, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств А и В, таких, что m(A) = a, m(B) = b

a + b – сумма, a и b – слагаемые.

Теорема: сумма любых двух целых неотрицательных чисел существует и она единственна.

Доказательство:

I. Существование: пусть a и b – целые неотрицательные числа, тогда a=m(A), b=m(B), где А и В – множества любой природы и А В=Ø. Так как А ≠Ø и В≠Ø, то А В≠Ø и является конечным множеством => с Z ₀, что с = m(A B). Тогда по определению суммы целых неотрицательных чисел с и есть сумма чисел a и b.

II Единственность: покажем, что сумма a+b единственна и не зависит от выбора представителей в классах эквивалентности.

Пусть числа a и b кроме множеств А и В определяют множества А₁ и B₁, и пусть с ₁ = m (A₁ B₁). Покажем, что с= с ₁ (а это будет тогда, когда А В~A₁ B₁).

Дано: A ~ A₁, B ~ B₁, A₁ B₁=A B = Ø.

Доказать: A B ~ A₁ B₁.

Для того, чтобы показать, что А В ~ , нужно показать, что между ними существует хотя бы одно взаимно однозначное соответствие. Построим его.

Т.о. будет взаимно однозначно поставлен элемент из множества А₁ В₁ => .

Операция отыскания суммы называется сложением.

Дата добавления: 2015-07-20