Свойства множества положительных рациональных чисел

Прежде всего, отметим, что множество Z является подмножеством множества рациональных чисел Q, т.е. Z Q. Действительно, множество рациональных чисел вида K() составляет множество целых чисел Z. Кроме того, во множестве Q относительно чисел вида K() справедливы все правила (свойства) арифметических действий, правила сравнения. Покажем это.

1. Два рациональных числа K() и K() равны когда a = b, т.к.

K( ) = K( ) (a = c) (b=d).

2. K() < K() a < b.

Таким образом, сравнение рациональных чисел вида K() сводится к сравнению целых чисел. Результаты арифметических операций над числами вида K() также не выводят нас из этого множества. Например,

1) K()+ K()=K()=K()

2 ) K() *K()=K()

3) K() - K() = K()

Действительно, K() - K() = K() K() + K() = K()

K() = K() a = b + x x = a – b.

4) если a b, то a = nb, n Z, тогда K(): K() = K( ) = K() = K().

Таким образом, арифметические операции над рациональными числами сводятся к арифметическими операциям над целыми числами. Поэтому отождествим рациональное число K() с целым числом а и в дальнейшем будем рациональное число K() обозначать просто а и называть целым.

Если разделить целое число а = K() на целое число b = K() ≠ 0, то получим

a: b = K(): K() = K( ). Следовательно, рациональное число K( ) есть частное чисел a и b ≠ 0. Тогда дробь можно рассматривать как частное a: b и наоборот. Поэтому в дальнейшем рациональное число K( ) будем обозначать дробью и понимать как частное двух целых чисел а и b ≠ 0. Тогда приведенные ранее правила арифметических действий в новых обозначениях будет выглядеть следующим образом:

+ = ; ­ = ; * = ;

: = .

Определение: Говорят, что рациональное число меньше рационального числа , если существует положительное рациональноечисло такое, что выполняется равенство

+ = , т.е. ( < ) ( ) [ + = ].

Следствие 1: ( < ) (ad < bc)

Следствие 2: Из двух дробей с равными положительными знаменателями меньше та, у которой числитель меньше: ( n N), ( < ) (a<b).

Теорема: Для любых ( ; Q) имеет место точно одно из трех соотношений:

( < ) ( = ) ( < ).

Доказательство:

Рассмотрим разность чисел - . По определению разности рациональных чисел: - = , такое, что = + .

Разность может быть больше 0, равно 0 или меньше 0.

1) > 0, тогда < (по определению < на множестве Q).

2) = 0, тогда = .

3) < 0, тогда рациональное число > 0 > 0.

Рациональное число является результатом разности - . Пользуясь определением разности запишем: = + . Откуда следует, что < , что и требовалось доказать.

Таким образом, отношение «меньше» на множестве Q ассиметрично и связно.

Теорема: Бинарное отношение «меньше» на множестве Q обладает свойством транзитивности:

( ; ; Q) [( < ) ( < ) ( < )].

Доказательство

1) из < ( ) [ + = ] (1)

2) из < ( ) [ + = ] (2)

Из (1) и (2) получим ( + ) + = + ( + ) = .

Т.к. и , то ( + ) < , что и требовалось доказать.

Т.к. отношение «меньше» на множестве Q ассиметрично, транзитивно и связно, то оно является отношением строгого линейного порядка, а множество Q – линейно упорядоченное множество.

Теорема: Между любыми двумя рациональными числами заключено бесконечно много чисел множества Q: ( a,b Q)( c Q) [a < c < b].

Доказательство

Рассмотрим 2 произвольно выбранных рациональных числа. Не нарушая общности рассуждений, представим их рациональными числами с одинаковыми знаменателями и . Пусть < . Тогда будем иметь: a < b. Рассмотрим рациональное число .

Т.к. a < b, то 2n < a + b < 2b |:2n (n>0)

< < < < .

Итак, мы показали, что между 2-мя произвольно выбранными рациональными числами заключено хотя бы одно число того же множества Q.

Аналогично можно показать, что между числами и также существует хотя бы одно рациональное число. Продолжая этот процесс, мы убедимся, что между числами и существует бесконечно много рациональных чисел из множества Q.

Эта теорема выражает свойство плотностиQ.

Теорема: Множество положительных рациональных чисел Q бесконечно.

Множество называется бесконечным, если оно равномощно некоторому своему собственному подмножеству. Кроме того, всякое бесконечное множество имеет счетное подмножество.

Мы уже отметили, что каждое целое число есть число рациональное. А значит Z Q. Тогда по свойству транзитивности отношения включения: . А ранее было доказано, что - множество счетное и бесконечное. Следовательно, Q - множество бесконечное и в нем нет наибольшего и наименьшего числа.

Теорема: Множество Q - счетное.

Доказательство

Рассмотрим множество несократимых дробей и для каждой несократимой дроби рассмотрим число, равное сумме ее числителя и знаменателя.

∑ = 2. Этому числу будет соответствовать несократимая дробь: .

∑ = 3. Этому числу будут соответствовать несократимые дроби: и .

∑ = 4. Этому числу будут соответствовать несократимые дроби: и .

Заметим, что дробь не берем, так как она сократима.

∑ = 5. Этому числу будут соответствовать несократимые дроби: , , , .

и т.д.

Выпишем полученные числа и поставим в соответствие им числа натурального ряда:

...

...

1 2 3 4 5 6 7 8 9...

В верхнем ряду не может быть пропущено ни одно рациональное число, т.к. каждая дробь имеет определенную сумму числителя и знаменателя, значит рано или поздно оно появится. Тем самым будет задано взаимнооднозначное соотношение между множествами рациональных и натуральных чисел: ~ N, т.е. - счетное множество.

А множество ~ . Тогда и все множество будет счетным.

Замечание: Множество обладает теми же свойствами, что и множество Q:

1) бесконечное; 2) линейно-упорядоченное; 3) счетное; 4) плотное; 5) не имеет наибольшего и наименьшего элемента.

---

Дата добавления: 2015-07-20