Свойства операций на множестве рациональных чисел

Теорема: Для любых рациональных чисел a,b,c Q справедливы следующие законы и свойства арифметических операций:

1) a+b=b+a коммутативность сложения;

ab=ba коммутативность умножения;

2) (a + b)+c = a+ (b + c) ассоциативность сложения;

(ab)c=a(bc) ассоциативность умножения;

3) (a + b)c=ac + bс дистрибутивность умножения относительно сложения;

c(a + b)=ca + cb

4) a + c = b +c a = b сократимость сложения;

ac = bc a = b (при c ≠ 0) сократимость умножения;

5) a < b a + c < b + c монотонность сложения;

a < b ac < bc (при c > 0) монотонность умножения;

6) a + 0 = a; ;

7) .

Доказательство основано на аналогичных законах и свойствах для целых чисел, а также на определениях рационального числа и операций сложения и умножения для рациональных чисел.

Докажем дистрибутивность умножения относительно сложения: (a + b)c=ac + bc.

Пусть a = K(), b = K(), c = K().

a + b=K()+K() = K()

ac + bc = K()K()+ K()K() = K() + K() = K() =

K().

(a + b)c = K()K() = K().

Очевидно, что (a + b)c = ac + bc ч.т.д.

Дата добавления: 2015-07-20