Определение: Произведением двух рациональных чисел K( )и K( ) называется рациональное число K( ).

Таким образом, K( ) * K( ) = K( ).

Теорема: Произведение двух рациональных чисел K( ) и K( ) не зависит от выбора их представителей.

Дано: K( ); K( ) – рациональные числа, K( ) * K( ) = K( ).

Пусть K( ) и K( ), тогда K( ) * K( ) = K( ).

Доказать: K( ) = K( ), то есть ~ .

Доказательство:

Так как K( ), то ~ Þ a'b = b'a

так как K( ), то ~ Þ c'd = d'c

Перемножим почленно эти равенства: a'bc'd=b'ad'c или (ac)(b'd')=(bd)(a'c'). Это равенство означает, что ~ , то есть K( ).

Определение: Разностью двух рациональных чисел K( ) и K( ) называется рациональное число K( ), которое удовлетворяет равенству:

K( ) + K( ) = K( ).

Теорема: Разность любых двух рациональных чисел существует и единственна.

Доказательство:

I. Существование.

а) Найдем вид числа K( ). По определению разности оно удовлетворяет условию:

K( ) + K( ) = K( ).

По определению суммы K( ) + K( ) = K( ) Þ K( ) = K( ).

Но два рациональных числа равны, если ~ , то есть если

ady = b(cy + dx). Тогда, ady = bcy + bdx Þ ady - bcy = bdx y(ad – bc) = bdx Þ

~ Þ K( ) = K( ).

б) Покажем, что найденное рациональное число является разностью чисел K( ) и K( ). Проверим выполнимость равенства: K( ) + K( ) = K( ).

K( ) + K( ) = K( ) = K( ) = K( ) = K( ), так как ~ .

Итак, существование разности доказано. Докажем ее единственность.

II. Единственность разности.

Предположим, что существует две разности рациональных чисел K( ) и K( ), то есть K( ) – K( ) = K( ) и (1) K( ) – K( ) = K( ) (2)

Покажем, что K( ) = K( ). Из (1) следует, что K( ) = K( ) + K( ); из (2) следует, что K( ) = K( ) + K( ). Тогда K( ) + K( ) = K( ) + K( ).

По определению суммы имеем: K( ) = K( ), что возможно, если ~ . Тогда по определению равносильных дробей имеем:

Определение: Частным от деления рационального числа K( ) на рациональное число K( ) ≠ 0, называется рациональное число K( ), удовлетворяющее уравнению:

K( ) * K( ) = K( )

В дальнейшем будем использовать обозначение:

K( ): K( ) = K( )

Теорема: Частное от деления любого рационального числа K( ) на рациональное число K( ) ≠ 0 существует и единственно.

Доказательство:

I. Существование.

а) Определим вид частного двух рациональных чисел.

По определению K( ): K( ) = K( ) K( ) * K( ) = K( ).

K( ) * K( ) = K( ) Þ K( ) = K( ) Þ ~ Þ cxb = dya или x bc =yad, это означает, что ~ , то есть K( ) = K( ). Таким образом, вид частного определили.

б) покажем, что это число является частным от деления рационального числа K( ) на K( ). Тогда должно выполняться равенство: K( ) * K( ) = K( ).

K( ) * K( ) = K( ) = K( ), так как ~ .

Итак, существование доказано.

II. Единственность.

Пусть существуют два частных K( ) и K( ) от деления рационального числа K( ) на K( ) ≠ 0. Тогда выполняются равенства:

K( ) * K( ) = K( ) (1) K( ) = K( )

K() * K( ) = K() (2) K() = K()

K( ) = K( ) ~ ~ K( ) = K( ).

Следствие: Частное рациональных чисел находится по формуле:

K( ): K( ) = K( ).

Замечание: Операции сложения, умножения и деления на множестве (положительных рациональных чисел) определяется так же, как и на Q. Операция вычитания на существует не всегда.

Теорема: Для того, чтобы разность положительных рациональных чисел a и b существовала необходимо и достаточно, чтобы b < a.

(доказательство аналогично теореме на N)

Теорема: Сумма и произведение положительных рациональных чисел являются положительными рациональными числами.

Пусть рациональное число K( ) задается дробью ;

K( ) задается дробью .

1. Так как K( ) положительное, то a > 0 и b > 0 (1) ab > 0. Аналогично cd > 0 (2). Умножим (1) на d² >0, а (2) на b² >0

abd² >0 и cdb² >0 сложим их: abd² + cdb² >0 (ad+cb)bd >0. Тогда

>0, но = + + >0, ч.т.д.

2. Если ab>0 и cd>0, то (ab)(cd)>0 (ac)(bd)>0 Þ * >0, ч.т.д.

Дата добавления: 2015-07-20