Абсолютная и условная сходимости числовых рядов

Рассмотрим, наконец, пригодные для практического использования признаки сходимости произвольного числового ряда

, (3.2.)

то есть ряда с членами произвольных знаков, который называется также знакопеременным рядом.

Предварительно отметим два вида сходимости знакопеременного ряда. С этой целью составим ряд из абсолютных величин исходного ряда:

(3.3)

Сходящийся числовой ряд (3.2) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (3.3), составленный из абсолютных величин членов исходного ряда (3.2).

Если числовой ряд (3.2) сходится, а ряд (3.3), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд (3.2) называется условно сходящимся.

Очевидно, что сходящийся знакоположительный ряд является абсолютно сходящимся.

Абсолютно сходящиеся ряды наряду со свойствами сходящихся рядов обладают следующими дополнительными свойствами/

При перемножении двух абсолютно сходящихся рядов (см. подразд. 1.4) сумма полученного ряда будет равна произведению сумм перемножаемых рядов.

Члены абсолютно сходящегося ряда можно группировать произвольным образом, получая абсолютно сходящийся ряд с суммой, равной сумме исходного ряда.

Члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлять произвольным образом, при этом сумма ряда остается прежней.

Следует заметить, что отмеченные свойства абсолютно сходящихся рядов не распространяются на ряды, сходящиеся условно. Это утверждение наглядно иллюстрируется теоремой Римана: если задано некоторое произвольное число , то в условно сходящемся ряде можно так переставить члены, что сумма полученного ряда будет равна выбранному числу ; более того, после перестановки членов ряда можно получить расходящийся ряд.

Пример 3.2. Исследовать на сходимость числовой ряд

Р е ш е н и е. Заданный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, так как

; .

Составим ряд из абсолютных величин исходного ряда:

и исследуем его на сходимость по признаку Даламбера:

.

Так как сходится ряд, составленный из абсолютных величин сходящегося исходного ряда, то исходный ряд сходится абсолютно.

Задание 3.2. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б) ; в) .

Ответы: а) ряд сходится условно; б) ряд сходится абсолютно; в) ряд сходится условно.

Задание 3.3. Вычислить точное значение суммы произведения рядов и .

Ответ: 0,125.

Дата добавления: 2015-07-26