Рядов с положительными членами. Как было отмечено раньше, аналитически вычислить значение суммы числового ряда

Как было отмечено раньше, аналитически вычислить значение суммы числового ряда удается только лишь в исключительных случаях. В остальных же случаях сумму ряда приходиться находить приближенно, убедившись предварительно в сходимости этого ряда.

Итак, требуется найти сумму сходящегося числового ряда

. (3.4)

Точное значение суммы этого ряда на практике приближенно заменяется конечной суммой

первых членов данного ряда, то есть n -й частичной суммой рассматриваемого ряда (3.4). При этом абсолютная ошибка такой приближенной замены определяется величиной модуля n -го остатка ряда , то есть

,

где

В зависимости от вида числового ряда используются те или оценки его остатка. Пусть ряд (3.4) является сходящимся знакоположительным рядом.

Мажорирующим рядом по отношению к ряду (3.4) называется сходящийся знакоположительный ряд

, (3.5)

все члены которого не меньше соответствующих членов ряда (3.4), а именно .

Остаток мажорирующего ряда (3.5) обозначим как , то есть

Тогда величину остатка сходящегося знакоположительного ряда (3.4) можно оценить на основании следующего утверждения: остаток знакоположительного ряда (3.4) не превосходит остатка мажорирующего ряда (3.5), то есть .

В качестве мажорирующего ряда выбирается сходящийся знакоположительный ряд, сумму которого можно подсчитать аналитически, например, ряд геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом :

. (3.6)

Для сходящихся знакоположительных рядов, члены которых монотонно убывают, начиная с (n + 1)-го члена, справедливы также следующие оценки остатка:

, (3.7)

, (3.8)

где - функция, монотонно убывающая на промежутке интегрирования и принимающая в точках значения .

Пример 3.5. С точностью 0,01 вычислить сумму ряда

Р е ш е н и е. Прежде всего убедимся в сходимости данного ряда, применив предельный признак Даламбера:

.

Затем для решения поставленной задачи необходимо определить число первых членов ряда, сумма которых будет равна искомой сумме ряда с заданной точностью, то есть когда остаток ряда не будет превосходить заданную точность вычислений .

В качестве мажорирующего ряда выберем сходящийся ряд геометрической прогрессии со знаменателем :

,

при этом нетрудно убедиться в том, что n -й член этого ряда не меньше n -го члена исходного ряда . Действительно, приведя выражения обоих этих членов к общему знаменателю, получим:

,

так как при любом натуральном .

Так как остаток исходного ряда не превосходит остатка мажорирующего ряда, то, применив формулу (3.6), подсчитаем его значения при некоторых и сопоставим с заданной точностью:

;

;

.

Таким образом, для вычисления суммы исходного ряда с заданной точностью требуется просуммировать пять первых членов этого ряда:

.

Задание 3.6. Оценить погрешность, получаемую при замене суммы ряда

суммой пятью его первыми членами.

Ответ: 0,00008.

Пример 3.6. Получить формулу для оценки n -го остатка ряда

.

Р е ш е н и е. Применив предельный признак Даламбера, сначала убедимся в сходимости данного ряда:

.

Затем, воспользовавшись оценкой (3.7), получим:

,

то есть .

Задание 3.7. С точностью 0,1 вычислить сумму ряда Дирихле

.

Ответ: .

Дата добавления: 2015-07-26