Вычисление сумм знакопеременных рядов

Оценка остатка произвольного числового ряда может быть произведена на основании следующей теоремы: абсолютная величина n -го остатка абсолютно сходящегося ряда

не превосходит n -го остатка ряда

,

составленного из абсолютных величин членов исходного ряда, то есть

.

Пример 3.8. Оценить погрешность, получаемую при замене суммы ряда

суммой десяти его первых членов.

Р е ш е н и е. Нетрудно проверить, что заданный ряд сходится абсолютно по признаку Даламбера абсолютной сходимости. Пусть - остаток этого ряда, величину которого требуется оценить. Для этого построим ряд, составленный из абсолютных величин исходного ряда:

, (3.9)

остаток которого обозначим как . Тогда .

В свою очередь, чтобы оценить остаток знакоположительного ряда (3.9), необходимо подобрать ряд, его мажорирующий. Так как

, , , ,

то в качестве мажорирующего ряда по отношению к знакоположительному ряду (3.9) выберем ряд геометрической прогрессии:

,

остаток которого, в свою очередь, может быть вычислен как сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом :

.

Таким образом, , то есть искомая погрешность замены суммы заданного ряда суммой первых его десяти членов оценивается как .

Задание 3.9. Сколько первых членов ряда

следует оставить для приближенного вычисления его суммы с гарантированной точностью 0,001.

Ответ: .

Дата добавления: 2015-07-26