Понятие функционального ряда

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ СХОДИМОСТЬ

Понятие функционального ряда

Пусть каждому натуральному числу по определенному правилу ставится в соответствие некоторая функция , определенная на множестве изменения переменной . Тогда множество занумерованных функций называется функциональной последовательностью.

Выражение вида

, (4.1)

где функции являются членами функциональной последовательности , называется функциональным рядом.

Функции называются членами ряда (4.1), а множество , на котором определены все эти функции, - областью определения данного функционального ряда.

Зафиксируем произвольную точку . Тогда в точке функциональный ряд (4.1) обращается в числовой ряд

, (4.2)

который в рассматриваемой точке может сходиться или расходиться.

Функциональный ряд (4.1) называется сходящимся в точке , если сходится соответствующий числовой ряд (4.2), и расходящимся в этой точке в противном случае.

Пример 4.1. Убедиться в том, что функциональный ряд

сходится в точке .

Р е ш е н и е. Так как , то после подстановки в исходный ряд, получим знакочередующийся ряд

,

который сходится по признаку Лейбница, так как

, .

Следовательно, исходный функциональный ряд в точке сходится.

Задание 4.1. Показать, что функциональный ряд

в точке сходится, а в точке расходится.

Дата добавления: 2015-07-26