Читайте также:
|
|
На практике для определения областей сходимости функциональных рядов наиболее часто применяются признаки Даламбера и Коши абсолютной сходимости числовых рядов.
Применительно к функциональному ряду по признаку Даламбера находится предел отношения модуля последующего члена ряда к модулю предыдущего, то есть
, (4.5)
а по признаку Коши находится предел
. (4.6)
Так как при ряд сходится, а при
- расходится, то для определения области сходимости функционального ряда находятся такие значения
, при которых имеет место неравенство
. Поскольку признаки Даламбера и Коши не дают ответа о сходимости ряда при
, то в точках
, при которых
, функциональный ряд следует исследовать на предмет его сходимости особо.
Пример 4.3. Найти область сходимости ряда
Р е ш е н и е. Применим признак Даламбера абсолютной сходимости ряда. Так как
,
,
то согласно (4.5) получим:
.
Отсюда следует, что исследуемый ряд сходится абсолютно при . При
данный ряд расходится. Проверим поведение ряда при
. Если
, то исследуемый функциональный ряд обращается в знакочередующийся числовой ряд
,
который сходится по признаку Лейбница, так как
,
.
При получается знакоположительный ряд
,
который расходится по признаку сравнения с расходящимся гармоническим рядом :
.
Таким образом, область сходимости исследуемого функционального ряда определяется неравенством , то есть
.
Пример 4.4. Определить область сходимости ряда
Р е ш е н и е. Воспользуемся признаком Коши абсолютной сходимости ряда. Согласно (4.6) получим:
.
По признаку Коши ряд сходится абсолютно при , а это имеет место при
. Если
, то
, то есть ряд расходится. При
исходный функциональный ряд обращается в расходящийся числовой ряд
Таким образом, область сходимости исследуемого ряда определяется неравенством .
Задание 4.3. Найти области сходимости следующих рядов:
а) ; б)
; в)
; г)
.
Ответы: а) ; б)
; в)
; г)
.
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 80 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Область сходимости функционального ряда | | | Равномерная сходимость функциональных рядов |