Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Равномерная сходимость функциональных рядов

Читайте также:
  1. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов
  2. Аномалии соотношения зубных рядов
  3. Вычисление сумм знакопеременных рядов
  4. Вычисление сумм знакочередующихся рядов
  5. Гвардии рядовой Даутов
  6. Графические изображения рядов распределения
  7. Графическое изображение рядов распределения

 

В теории функциональных рядов особое место занимает класс так называемых равномерно сходящихся рядов, поскольку эти ряды обладают некоторыми важными свойствами.

Пусть - сумма сходящегося в области функционального ряда

, (4.7)

а - его частичная сумма.

Функциональный ряд (4.7) называется равномерно сходящимся в области к функции , если для любого числа найдется такой номер , что для всех и для любого выполняется неравенство , то есть

. (4.8)

Сравнение определения (4.8) равномерной сходимости ряда с определением (4.4) его обычной сходимости показывает, что в случае равномерной сходимости ряда номер его члена , начиная с которого выполняется неравенство , не зависит от , а определяется только наперед заданным числом и является общим для всей области .

Геометрическая интерпретация равномерной сходимости ряда на отрезке заключается в том, что, начиная с номера , все члены последовательности частичных сумм ряда в пределах отрезка целиком лежат в -полоске функции , являющейся суммой данного ряда (рис. 4.1).

Следует заметить, что из равномерной сходимости ряда в области следует сходимость его в каждой точке этой области, в то же время, сходящийся в обычном смысле в области ряд может в этой области равномерно и не сходиться.

Общий признак равномерной сходимости функционального ряда определяется критерием Коши: для того, чтобы функциональный ряд (4.7) равномерно сходился на множестве , необходимо и достаточно, чтобы для любого числа существовал такой номер , что при всех неравенство выполнялось при любом целом и для всех , то есть

. (4.9)

Критерий Коши играет огромную роль в теоретических исследованиях, но на практике используется более простой достаточный признак равномерной сходимости (признак Вейерштрасса): если функциональный ряд на некотором множестве мажорируется числовым рядом, то он равномерно сходится на этом множестве.

В свою очередь, числовой сходящийся знакоположительный ряд

(4.10)

называется мажорирующим рядом на множестве по отношению к функциональному ряду (4.7), если при любом все члены ряда (4.7) не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов ряда (4.10), то есть при всех и любом выполняется неравенство .

Пример 4.5. Убедиться в том, что ряд

равномерно сходится на всей числовой оси.

Р е ш е н и е. Числовой знакоположительный ряд сходится по признаку Даламбера:

.

Далее, так как , то при любом . Таким образом, сходящийся ряд является мажорирующим по отношению к исследуемому функциональному ряду на всей числовой оси. Следовательно, исследуемый ряд сходится равномерно на любом отрезке оси .

 

Задание 4.4. Показать, что нижеследующие ряды равномерно сходятся на всей числовой оси:

а) ; б) ; в) .

Задание 4.5. Доказать, что функциональный ряд

равномерно сходится на всей положительной полуоси.

 


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 118 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Понятие функционального ряда | Область сходимости функционального ряда | Упражнения к разделу 4 |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Применение признаков Даламбера и Коши| И их применение

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)