Равномерная сходимость функциональных рядов

В теории функциональных рядов особое место занимает класс так называемых равномерно сходящихся рядов, поскольку эти ряды обладают некоторыми важными свойствами.

Пусть - сумма сходящегося в области функционального ряда

, (4.7)

а - его частичная сумма.

Функциональный ряд (4.7) называется равномерно сходящимся в области к функции , если для любого числа найдется такой номер , что для всех и для любого выполняется неравенство , то есть

. (4.8)

Сравнение определения (4.8) равномерной сходимости ряда с определением (4.4) его обычной сходимости показывает, что в случае равномерной сходимости ряда номер его члена , начиная с которого выполняется неравенство , не зависит от , а определяется только наперед заданным числом и является общим для всей области .

Геометрическая интерпретация равномерной сходимости ряда на отрезке заключается в том, что, начиная с номера , все члены последовательности частичных сумм ряда в пределах отрезка целиком лежат в -полоске функции , являющейся суммой данного ряда (рис. 4.1).

Следует заметить, что из равномерной сходимости ряда в области следует сходимость его в каждой точке этой области, в то же время, сходящийся в обычном смысле в области ряд может в этой области равномерно и не сходиться.

Общий признак равномерной сходимости функционального ряда определяется критерием Коши: для того, чтобы функциональный ряд (4.7) равномерно сходился на множестве , необходимо и достаточно, чтобы для любого числа существовал такой номер , что при всех неравенство выполнялось при любом целом и для всех , то есть

. (4.9)

Критерий Коши играет огромную роль в теоретических исследованиях, но на практике используется более простой достаточный признак равномерной сходимости (признак Вейерштрасса): если функциональный ряд на некотором множестве мажорируется числовым рядом, то он равномерно сходится на этом множестве.

В свою очередь, числовой сходящийся знакоположительный ряд

(4.10)

называется мажорирующим рядом на множестве по отношению к функциональному ряду (4.7), если при любом все члены ряда (4.7) не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов ряда (4.10), то есть при всех и любом выполняется неравенство .

Пример 4.5. Убедиться в том, что ряд

равномерно сходится на всей числовой оси.

Р е ш е н и е. Числовой знакоположительный ряд сходится по признаку Даламбера:

.

Далее, так как , то при любом . Таким образом, сходящийся ряд является мажорирующим по отношению к исследуемому функциональному ряду на всей числовой оси. Следовательно, исследуемый ряд сходится равномерно на любом отрезке оси .

Задание 4.4. Показать, что нижеследующие ряды равномерно сходятся на всей числовой оси:

а) ; б) ; в) .

Задание 4.5. Доказать, что функциональный ряд

равномерно сходится на всей положительной полуоси.

Дата добавления: 2015-07-26