Сходимости знакопеременных рядов

Сочетание достаточного признака абсолютной сходимости и предельных признаков Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов позволяет получить еще два широко используемых на практике приема исследования на сходимость знакопеременных рядов, позволяющих в ряде случаев также доказать их расходимость.

Первый из них (признак Даламбера абсолютной сходимости) формулируется следующим образом: если существует предел отношения модуля последующего члена ряда (3.2) к модулю предыдущего, то есть

,

то при ряд (3.2) сходится абсолютно, а при - расходится.

Второй признак (признак Коши абсолютной сходимости) гласит: если для ряда (3.2) существует предел

,

то при этот ряд сходится абсолютно, а при данный ряд расходится.

Пример 3.4. Исследовать на сходимость числовой ряд

.

Р е ш е н и е. Для исследования на сходимость заданного знакочередующегося ряда применим признак Даламбера абсолютной сходимости, поскольку наличие факториалов в выражении общего члена ряда служит предпосылкой для использования этого метода. Так как

, ,

то согласно признаку Даламбера получим:

.

Поскольку предел отношения модуля последующего члена ряда к модулю предыдущего меньше единицы, то исходный ряд сходится абсолютно.

Задание 3.5. Исследовать на сходимость следующие ряды:

а) ; б) .

Ответы: а) ряд сходится абсолютно; б) ряд расходится.

Дата добавления: 2015-07-26