Разность целых неотрицательных чисел

Определение: Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется целое неотрицательное число (a-b), равное числу элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что m(A)=a, m(B)=b и B A

а – b = m (A\B), где a = m (A), b = m (B) и B A

Действие отыскания разности называется вычитанием. При этом записывают a – b = c.

Например, A ={a,b,c,d,e,f }, m (A) = 6

B ={b, d, e, f }, m (B) = 4

A\B ={a, c }, m (A\B) = 2 = m (B'_A)

m (A\B) =m (A) – m (B)

Из примера видно, что 6 - 4 = 2, где 2 = m (B'_A).

Теорема: Разность целых неотрицательных чисел a и b существует и единственна тогда и только тогда, когда b ≤ a.

Доказательство:

1. Необходимость существования разности: Если разность c = a - b существует, то b ≤ a.

Доказательство:

Возможны два случая: с = 0 и с ≠ 0, то есть с > 0.

а) пусть с = 0, тогда так как с = m (A\B), то m (A\B) = c => A\B = Ø. А так как В А, то это означает, что А = В. Тогда m (A) = m (B), то есть a = b.

б) пусть с > 0, то есть m (A\B) > 0 => A\B ≠ Ø и значит B A. Так как А и В конечные множества, то m (B) < m (A), то есть b < a. Объединяя a) и б) получим b ≤ a.

2. Достаточность существования: Если b ≤ a, то разность c = a - b существует.

Доказательство:

Если b ≤ a, то это значит, что (b = a) (b < a).

а) пусть b = a это значит m (B) = m(A). Так как множества А и В – конечные и В А, то это значит, что В = А. тогда A\B = Ø и m (A\B) = 0 => по определению разности имеем a – b = m (A\B) = 0, то есть разность с = 0.

б) пусть b < a, тогда m (B) < m (A). В этом случае имеем, что B A и значит A\B ≠ Ø и m (A\B) ≠ 0, m (A\B) > 0, то есть a – b = m (A\B) =c > 0. И в этом случае существование разности доказано.

3. Единственность разности.

Пусть A~A₁ и B~B₁, тогда m (A) = m (A₁) = a

m (B) = m (B₁) = b

Пусть B A, B₁ A₁,тогда a – b = m (A\B) и a – b = m (A₁\B₁).

Покажем, что m (A\B) = m (A₁\B₁).

Для этого достаточно показать, что A\B ~ A₁\B₁.

Доказательство:

Пусть A\B A₁\B₁, тогда в одном из множеств, например в A₁\B₁, можно выделить подмножество Е₁, которое будет равномощно A\B.

E₁ A₁\B₁ и A\B ~ E₁

A = (A\B), где B ∩ (A\B) = Ø

Рассмотрим множество А’₁=Е₁ В_1, где Е₁∩В₁=Ø. Очевидно, что A’₁ A₁.

Из того, что

Из того, что A₁ ~ A A ~ A′₁ => A₁ ~ A′₁ (то есть множество равномощно своему собственному подмножеству), а это противоречит определению конечного множества.

Таким образом теорема доказана полностью.

Так как A = B (A\B), то m (A) = m (B (A\B))

Так как B∩(A\B) = Ø, то m (B (A\B)) = m (B) + m (A\B), где m (A) = a, m (B) = b, m (A\B) = a – b.

Тогда будем иметь m (A) = m (B) + m (A\B)

a = b + (a - b).

Отсюда получаем другое определение разности.

Определение: Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число (a – b), которое в сумме с числом b дает число а.

Используя теоретико-множественное толкование суммы, разности целых неотрицательных чисел, можно теоретико-множественное толкование всех правил, связывающих операции сложения и вычитания этих чисел.

Дата добавления: 2015-07-20