Решение. Логарифмируя левую и правую части, получим ln y = 1/7 sin 4x + 2/7 ln(x3 + 6x-1) - 4/7 ln(x4 – 5x2 + 3),

Логарифмируя левую и правую части, получим ln y = 1/7 sin 4x + 2/7 ln(x³ + 6x-1) - 4/7 ln(x⁴ – 5x² + 3),

дифференцируем обе части:

откуда получаем:

28. Производные функции, заданных неявно и параметрически.

Определение: Производной от функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю: или

Пр-я от неявно: Пусть уравнение определяет y как неявную функцию от х.

а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно y’;

б) из полученного уравнения выразим y’.

Пример

Пр-я от параметрически: Пусть функция задана параметрическими уравнениями , тогда или

Пример

29. Дифференциал, геометрическая интерпретация дифференциала.

Определение: Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная по чась приращения, т.е.

Дифференциал обозначается . Для симметрии пишут также вместо формула в результате принимает вид: .

Приращение можно представить в виде: , где - линейная функция , а стремится к нулю при , быстрее чем .

Геометрический смысл:

Из геометрического смысла производной , поэтому , таким образом величина отрезка - это и есть дифференциал . При малых , приближенное равенство позволяет вычислять значения функции.

30. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть дана сложная функция ,
дифференциал равен: .

Если применить формулу вычисления сложной функции, имеем ,

Но - это есть дифференциал следовательно

Свойство инвариантности формы первого дифференциала: Сравнивая полученные 2 формулы видим, что дифференциалравен производной этой функции, умноженной на дифференциал аргумента, как и в случае, когда аргумент является независимой переменной, так и в случае когда аргумент является дифференцируемой функцией некоторой другой переменной

31. Производные высших порядков. Вторая производная функции, заданных неявно и параметрически.

Производная высших порядков: Производная функции , определенной и дифференцируемой на , представляет собой так же функцию, определенную на . Может оказаться что эта функция также имеет производную на , тогда эта производная называется второй производной

Аналогичным образом определяются производные последующих порядков

Пример

Вторая производная от функции заданной неявно:

- уравнение определяет y как неявную функцию от х.

а) определим

б) продифференцируем по х левую и правую части равенства

в) заменяя через получим: и т.д.

Вторая производная от функции заданной параметрически:

Пример:

32. Дифференциалы старших порядков. Случаи простой и сложной функций.

Дифференциал , в свою очередь является функцией x, которая может оказаться дифференцируемой. Дифференциал этой функции и называется вторым дифференциалом и обозначается

Случай простой функции (независимой): - общая закономерность.

Случай сложной функции (зависимой):

Таким образом дифференциал не обладает свойством инвариантности.

Дата добавления: 2015-07-26