Билет 34. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

Закон движения пружинного маятника запишется в виде:

Используя формулу циклической частоты и Ур-ие коэф.затухания ,придём к уравнению

Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение .Тогда уравнения (дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в контуре) и можно записать в виде .Используя (Ур-ие циклической частоты) и (коэф. Затухания) придём к уравнению Колебания. Возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты . Меха­нические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Из формулы

(1)

следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту — частоту, при которой амплитуда А сме­щения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (1), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкорен­ное выражение по и приравняв его нулю, получим условие, определяющее :

Это равенство выполняется при , у которых только лишь положи­тельное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота (2)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к ча­стоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим). При значение практически совпадает с собственной частотой колебательной системы. Подста­вляя (2) в формулу (1), получим

Дата добавления: 2015-07-20