Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Вывести параметрическое и каноническое уравнение прямой на плоскости.

Читайте также:
  1. B -отрезок отсекаемой прямой на оси y
  2. ECN И ПРЯМОЙ ДОСТУП
  3. АВТОМОБИЛЬ НА ПРЯМОЙ
  4. Б) непрямой массаж сердца
  5. Б. Прямой контроль
  6. Билет 33. Затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Апериодический разряд
  7. Билет 34. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a, если - некоторая точка прямой a и - направляющий вектор прямой a.

Пусть - плавающая точка прямой a. Тогда вектор является направляющим вектором прямой a и имеет координаты . Очевидно, что множество всех точек на плоскости определяют прямую, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарные.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и : . Последнее равенство в координатной форме имеет вид .

Если и , то мы можем записать

Полученное уравнение вида называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Уравнение также называют уравнением прямой в каноническом виде.

Итак, каноническое уравнение прямой на плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор .

Параметрическим уравнением прямой являеться:

, , (7)

где – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой, – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t – параметр.

Доказательство. В соответствии с определением уравнения любого множества точек координатного пространства, мы должны доказать, что уравнениям (7) удовлетворяют все точки прямой L и, с другой стороны, не удовлетворяют координаты точки не лежащей на прямой.

Пусть произвольная точка . Тогда векторы и являются по определению коллинеарными и по теореме о коллинеарности двух векторов следует, что один из них линейно выражается через другой, т.е. найдется такое число , что . Из равенства векторов и следует равенство их координат:

, , , ч.т.д.

Обратно, пусть точка . Тогда и по теореме о коллинеарности векторов ни один из них не может быть линейно выражен через другой, т.е. и хотя бы одно из равенств (7) не выполняется. Таким образом, уравнениям (7) удовлетворяют координаты только тех точек, которые лежат на прямой L и только они, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие. Следующая система уравнений является уравнениями прямой:

. (8)

Доказательство. Выразив параметр t из уравнений (7), получаем:

, , , (9)

откуда и следуют уравнения (8). Ясно, что системы уравнений (7) и (8) равносильны, т.е. их множества решений совпадают и система (8), так же как и система (7), являются уравнениями прямой, ч.т.д.

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 303 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Экзамен по МАТАНУ | Обратная матрица, вычисление, приложение. | Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. | Метод Гаусса решения систем линейных уравнений | Теорема 1 (о нетривиальных решениях однородной системы) | Скалярное произведение векторов, свойства, приложения. | Эллипс, гипербола парабола. Каноническое уравнение. | Каноническое и общее уравнение прямой в пространстве | Цилиндрические и канонические поверхности | Первый замечательный предел |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Смешанное произведение векторов| Общее уравнение плоскости вывод исследование

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)