Читайте также:
|
|
Однородная линейная система с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.
Доказательство По теореме Крамера тогда и только тогда, когда система с квадратной матрицей имеет единственное решение (т.е. векторы – столбцы системы – линейно зависимы). В случае если задана система линейных однородных уравнений, это решение – тривиальное (0,0,…0). Значит, нетривиальные решения имеются тогда и только тогда, когда (т.е. решений системы бесконечное множество).
Любое решение СЛОУ выражается в виде линейной комбинации
векторов (если ):
, …, .
Покажем, что вектора – линейно независимы. Для этого составим матрицу из их координат:
.
Ниже черты расположен минор порядка , отличный от нуля столбцов матрицы линейно независимы.
Следовательно, вектора – линейно независимы, т.е. эти вектора образуют базис подпространства.
Условие нетривиальной совместности:
Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных
Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 536 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений | | | Скалярное произведение векторов, свойства, приложения. |