Экзамен по МАТАНУ

1) Частные виды матриц.

Матрица - это таблица, состоящая из определенного количества строк и столбцов, заполненная элементами.

Виды: 1) прямоугольная 2) строка 3) столбец 4) квадратная 5) ÝÞтреугольная 6) диагональная и скалярная 7) еденичная 8)симметричная и косеметричная

Умножение матриц

Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́нием ма́триц

Произведением матрицы размеров на матрицу размеров называется матрица размеров , элементы которой вычисляются по формуле

где , .

Свойства умножения

-- ассоциативность умножения;

, где -- число;

, -- дистрибутивность умножения; , , где -- единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл.

Доказательство ассоциативности.

На протяжении всего доказательства предполагается, что -- матрица размеров .

Докажем свойство ассоциативности. Чтобы произведение было определено, матрица должна иметь размеры . Произведение обозначим буквой . Тогда матрица имеет размеры . Чтобы произведение было определено, матрица должна иметь размеры . Матрицу обозначим , матрицу обозначим , матрицу обозначим . Покажем, что элементы, стоящие в -ой строке и -ом столбце матриц и , равны друг другу, то есть что .

По определению

Подставив из второго равенства в первое, получим

В силу предложения 14.1

В силу предложения 14.3 (14.6)

С другой стороны

откуда

Применим предложение 14.1

Сравнивая этот результат с (14.6), заключаем, что .

Ассоциативность умножения доказана...

Доказательство дистрибутивности.

. Чтобы произведение было определено, матрицы и должны иметь размеры . Положим , , , , . Для доказательства равенства , нужно доказать, что , , .

Так как , то

По определению суммы матриц, . Следовательно,

(14.7)

С другой стороны,

Тогда

Сравнивая полученный результат с (14.7), получаем . Первое равенство в свойстве дистрибутивности доказано…

Произведение матрицы на единичную матрицу подходящего порядка равно самой матрице:

Произведение матрицы на нулевую матрицу подходящей размерности равно нулевой матрице:

Если и — квадратные матрицы одного и того же порядка, то произведение матриц обладает ещё рядом свойств.

Умножение матриц в целом некоммутативно:

Если , то матрицы и называются перестановочными или коммутирующими между собой.

Определитель и след произведения не зависят от порядка умножения матриц:

Дата добавления: 2015-07-20