Читайте также:
|
|
1) Частные виды матриц.
Матрица - это таблица, состоящая из определенного количества строк и столбцов, заполненная элементами.
Виды: 1) прямоугольная 2) строка 3) столбец 4) квадратная 5) ÝÞтреугольная 6) диагональная и скалярная 7) еденичная 8)симметричная и косеметричная
Умножение матриц
Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́нием ма́триц
Произведением матрицы размеров
на матрицу
размеров
называется матрица
размеров
, элементы которой вычисляются по формуле
где ,
.
Свойства умножения
-- ассоциативность умножения;
, где
-- число;
,
-- дистрибутивность умножения;
,
, где
-- единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл.
Доказательство ассоциативности.
На протяжении всего доказательства предполагается, что -- матрица размеров
.
Докажем свойство ассоциативности. Чтобы произведение было определено, матрица
должна иметь размеры
. Произведение
обозначим буквой
. Тогда матрица
имеет размеры
. Чтобы произведение
было определено, матрица
должна иметь размеры
. Матрицу
обозначим
, матрицу
обозначим
, матрицу
обозначим
. Покажем, что элементы, стоящие в
-ой строке и
-ом столбце матриц
и
, равны друг другу, то есть что
.
По определению
Подставив из второго равенства в первое, получим
В силу предложения 14.1
В силу предложения 14.3 (14.6)
С другой стороны
откуда
Применим предложение 14.1
Сравнивая этот результат с (14.6), заключаем, что .
Ассоциативность умножения доказана...
Доказательство дистрибутивности.
. Чтобы произведение было определено, матрицы
и
должны иметь размеры
. Положим
,
,
,
,
. Для доказательства равенства
, нужно доказать, что
,
,
.
Так как , то
По определению суммы матриц, . Следовательно,
(14.7)
С другой стороны,
Тогда
Сравнивая полученный результат с (14.7), получаем . Первое равенство в свойстве дистрибутивности доказано…
Произведение матрицы на единичную матрицу подходящего порядка равно самой матрице:
Произведение матрицы на нулевую матрицу подходящей размерности равно нулевой матрице:
Если и
— квадратные матрицы одного и того же порядка, то произведение матриц обладает ещё рядом свойств.
Умножение матриц в целом некоммутативно:
Если , то матрицы
и
называются перестановочными или коммутирующими между собой.
Определитель и след произведения не зависят от порядка умножения матриц:
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 274 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
ТЕРМИНЫ С сайта АПП | | | Обратная матрица, вычисление, приложение. |