Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Смешанное произведение векторов

Читайте также:
  1. III. 11.5. Воспроизведение
  2. Билет 31. Условия на границе двух сред для векторов B и H.
  3. Векторное произведение векторов, заданных компонентами в декартовых координатах. Условия коллинеарности векторов.
  4. Воспроизведение
  5. Воспроизведение записей
  6. Воспроизведение уклада
  7. Воспроизведениерассказов

Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком "минус":

В частности,

Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю.

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

 

15.Прямая линия на плоскости, её общее уравнение и его исследование.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оxy.

Теорема.

Всякое уравнение первой степени вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением вида при некотором наборе значений A, B и C.

 

Докажем сначала, что уравнение вида задает прямую на плоскости.

Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению , то есть, . Вычтем из левой и правой частей уравнения соответственно левую и правую части равенства , при этом получаем уравнение вида , которое эквивалентно .

Уравнение представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов и . То есть, множество всех точек определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, перпендикулярную направлению вектора . Если бы это было не так, то векторы и не были бы перпендикулярными и равенство не выполнялось бы.

Таким образом, уравнение задает прямую линию в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, следовательно, эквивалентное ему уравнение вида задает эту же прямую. На этом первая часть теоремы доказана.

Теперь докажем, что всякая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости определяется уравнением первой степени вида .

Пусть в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задана прямая a, проходящая через точку , - нормальный вектор прямой a, и пусть - плавающая точка этой прямой. Тогда векторы и перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть, . Полученное равенство можно переписать в виде . Если принять , то получим уравнение , которое соответствует прямой a.

На этом доказательство теоремы завершено.

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 139 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Экзамен по МАТАНУ | Обратная матрица, вычисление, приложение. | Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. | Метод Гаусса решения систем линейных уравнений | Теорема 1 (о нетривиальных решениях однородной системы) | Общее уравнение плоскости вывод исследование | Эллипс, гипербола парабола. Каноническое уравнение. | Каноническое и общее уравнение прямой в пространстве | Цилиндрические и канонические поверхности | Первый замечательный предел |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Скалярное произведение векторов, свойства, приложения.| Вывести параметрическое и каноническое уравнение прямой на плоскости.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)