Исследование однородной СЛАУ

Напомним, что в однородной системе линейных алгебраических уравнений все правые части равны нулю:

Ее расширенная матрица системы отличается от основной наличием лишь нулевого столбца, что по свойству ранга, его не меняет. Следовательно, и по тереме Кронеккера-Капелли однородная СЛАУ совместна всегда.

Этот факт верен еще и потому, что по крайней мере один (нулевой) набор значений неизвестных обращает в тождество каждое уравнение системы.

Таким образом, для однородной системы остается выяснить, определена она или не определена.

В случае справедлива следующая теорема:

Линейная однородная система уравнений с неизвестными имеет единственное (нулевое) решение тогда и только тогда, когда основной определитель системы и множество ненулевых решений тогда и только тогда, когда .

Например:

. Вместо 3-х уравнений получаем одно , которое допускает множество решений.

Вопросы для самоконтроля

1. Определитель 2-го порядка, правило его вычисления, свойства.

2. Определитель 3-го порядка. Понятие об определителях произвольного порядка.

3. Правило треугольника, правило Сарруса.

4. Минор, алгебраическое дополнение элемента. Вычисление определителя разложением по элементам ряда.

5. Понятие матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.

6. Матрица, обратная данной. Алгоритм её нахождения.

7. Понятие о системах линейных алгебраических уравнений с неизвестными. Общая схема исследования.

8. Понятие о ранге матрицы. Методы его вычисления.

9. Условие совместности СЛАУ (теорема Кронеккера-Капелли).

10. Решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера. Условия применимости.

11. Решение системы линейных алгебраических уравнений средствами матричного исчисления. Условия применимости.

12. Элементарные преобразования. Метод Гаусса решения СЛАУ.

13. Приложения метода Гаусса в линейной алгебре.

14. Основные и свободные неизвестные. Решение неопределенной СЛАУ.

15. Исследование однородных систем линейных уравнений.

Дата добавления: 2015-07-26