Ранг матрицы и его свойства

В существующей математической литературе можно выделить несколько подходов к определению понятия ранга матрицы:

- с помощью понятия линейной зависимости/независимости строк (столбцов) матрицы (ранг равен максимальному количеству линейно независимых строк (столбцов) матрицы);

- с помощью понятия минора матрицы как наивысший порядок минора, отличного от нуля (напомним, что минором матрицы порядка называется определитель – го порядка, который составлен из элементов, стоящих на пересечении вычеркиваемых строк и столбцов матрицы);

- с помощью метода Гаусса (по завершении прямого хода ранг матрицы равен количеству ненулевых строк).

Ранг матрицы обозначают

Часто нахождение ранга облегчает применение его свойств:

1⁰. Квадратная невырожденная матрица всегда имеет ранг, отличный от нуля.

2⁰. При транспонировании ранг матрицы не изменяется.

3⁰. При перестановке двух параллельных рядов матрицы (двух строк или двух столбцов) ранг матрицы не изменяется.

4⁰. При удалении нулевого столбца или нулевой строки ранг матрицы не изменяется.

5⁰. При удалении строки (или столбца), которая является линейной комбинацией других строк (или столбцов), ранг матрицы не изменяется.

6⁰. При умножении всех элементов строки (столбца) на число ранг матрицы не изменяется.

7⁰. Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. .

8⁰. тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Ранг матрицы определен на основании свойства определителя, содержащего строки с пропорциональными элементами. (Любой минор 2-го или 3-го порядка матрицы равен нулю).

Ранги матриц и определены с помощью вычеркивания нулевых строк. (В матрице минор на пересечении двух первых строк и двух первых столбцов отличен от нуля).

Матрица – невырожденная, поэтому ее ранг равен трем. (Проверьте самостоятельно условие

Ранг матрицы определим с помощью элементарных преобразований:

1) элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам 2-й строки;

2) элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам третьей строки;

3) элементы первой строки умножим на (-5) и прибавим к элементам четвертой строки:

Третью строку полученной матрицы прибавим ко второй и к четвертой строкам

(Удалены строки 2 и 4 с нулевыми элементами). Число ненулевых строк равно 2 или минор 2-го порядка в левом углу матрицы

, ч.т.д.

Дата добавления: 2015-07-26