Читайте также: |
|
1) Сложение матриц
Матрицы одинаковой размерности можно почленно складывать.
Суммой двух матриц и
одинаковой размерности
x
называется матрица
той же размерности, элементы которой,
где
.
Например,
Тогда .
Свойства сложения матриц:
1. (коммутативность)
2. (ассоциативность)
3. Если , то
2) Вычитание матриц определяется аналогично сложению. Если , то
В приведенном выше примере
3) Умножение матрицы на число
Произведением матрицы на число
называют матрицу
, элементы которой
, где
.
Например,
Найдем матрицу С = 2А + 3В
.
Свойства умножения матриц на число:
1.
2.
3.
4) Умножение матриц
Умножение двух матриц определено, если число (количество) столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы
. Такие матрицы называются соответственными.
Пусть размерность матрицы
x
а матрицы
(
).
Произведением двух матриц и
называется матрица
, элементы которой определяются по формуле:
, т.е. каждый элемент матрицы
есть сумма произведений элементов
-й строки матрицы
на
-й столбец матрицы
.
При этом размерность матрицы будет равна (
).
Например, пусть .
Размерность матрицы . Число столбцов матрицы
3, число строк матрицы B n
3. Найдем произведение
Свойства произведения матриц:
1.
2.
3.
4.
5. Произведение двух матриц в общем случае не коммутативно. Не всегда . Эти произведения могут быть разными матрицами (и с разными элементами, и разной размерности), а могут после перестановки и вовсе не существовать. Например в рассмотренном примере матрицу
нельзя умножить на матрицу
.
6.
7.
5) Возведение в степень
Эта операция определяется только для квадратных матриц, и только для целых степеней > 1.
Целой положительной степенью (
> 1) квадратной матрицы
называется произведение
матриц, равных
.
Принято считать .
6) Обращение матрицы
Для матриц операция деления не определена, но можно определить аналог типа – нахождение обратной к данной..
Матрица называется обратной к матрице
, если
.
Обратная матрица обозначается , т.е.
.
Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, если ее определитель
Действительно, т.к. , то
.
С другой стороны,
Следовательно,
Каждая квадратная матрица с определителем, отличным от нуля, имеет обратную. Ее элементы находят по формуле
Вычисление обратной матрицы и есть операция обращения матрицы.
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1. Найти определитель исходной матрицы.
Если , то
– вырожденная матрица, обратная матрица
не существует и вычисление нужно прекратить.
Если , то обратная матрица существует. Перейти к п.2.
2. Найти алгебраические дополнения каждого элемента матрицы
и составить матрицу из алгебраических дополнений в порядке следования элементов матрицы.
3. Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений.
4. Полученную матрицу умножить на множитель (или иначе: каждый элемент полученной матрицы разделить на определитель матрицы
). В результате получим обратную матрицу
.
5. Выполнить проверку правильности вычислений, перемножив матрицы и
в прямом и обратном порядке. Получение в результате единичной матрицы служит критерием правильности вычислений. Т.е.
Пример. Найти матрицу, обратную данной
Решение
- обратная матрица существует.
2.
Составим матрицу из :
3. Транспонируем матрицу А*:
5. Проверку предлагается выполнить самостоятельно.
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 367 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Понятие матрицы | | | Матричный способ решения СЛАУ |