Алгебраические операции над матрицами

1) Сложение матриц

Матрицы одинаковой размерности можно почленно складывать.

Суммой двух матриц и одинаковой размерности x называется матрица той же размерности, элементы которой, где .

Например,

Тогда .

Свойства сложения матриц:

1. (коммутативность)

2. (ассоциативность)

3. Если , то

2) Вычитание матриц определяется аналогично сложению. Если , то

В приведенном выше примере

3) Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называют матрицу , элементы которой , где .

Например,

Найдем матрицу С = 2А + 3В

.

Свойства умножения матриц на число:

1.

2.

3.

4) Умножение матриц

Умножение двух матриц определено, если число (количество) столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы . Такие матрицы называются соответственными.

Пусть размерность матрицы x а матрицы ().

Произведением двух матриц и называется матрица , элементы которой определяются по формуле:

, т.е. каждый элемент матрицы есть сумма произведений элементов -й строки матрицы на -й столбец матрицы .

При этом размерность матрицы будет равна ().

Например, пусть .

Размерность матрицы . Число столбцов матрицы 3, число строк матрицы B n 3. Найдем произведение

Свойства произведения матриц:

1.

2.

3.

4.

5. Произведение двух матриц в общем случае не коммутативно. Не всегда . Эти произведения могут быть разными матрицами (и с разными элементами, и разной размерности), а могут после перестановки и вовсе не существовать. Например в рассмотренном примере матрицу нельзя умножить на матрицу .

6.

7.

5) Возведение в степень

Эта операция определяется только для квадратных матриц, и только для целых степеней > 1.

Целой положительной степенью ( > 1) квадратной матрицы называется произведение матриц, равных .

Принято считать .

6) Обращение матрицы

Для матриц операция деления не определена, но можно определить аналог типа – нахождение обратной к данной..

Матрица называется обратной к матрице , если .

Обратная матрица обозначается , т.е. .

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, если ее определитель

Действительно, т.к. , то .

С другой стороны,

Следовательно,

Каждая квадратная матрица с определителем, отличным от нуля, имеет обратную. Ее элементы находят по формуле

Вычисление обратной матрицы и есть операция обращения матрицы.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Найти определитель исходной матрицы.

Если , то – вырожденная матрица, обратная матрица не существует и вычисление нужно прекратить.

Если , то обратная матрица существует. Перейти к п.2.

2. Найти алгебраические дополнения каждого элемента матрицы и составить матрицу из алгебраических дополнений в порядке следования элементов матрицы.

3. Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений.

4. Полученную матрицу умножить на множитель (или иначе: каждый элемент полученной матрицы разделить на определитель матрицы ). В результате получим обратную матрицу .

5. Выполнить проверку правильности вычислений, перемножив матрицы и в прямом и обратном порядке. Получение в результате единичной матрицы служит критерием правильности вычислений. Т.е.

Пример. Найти матрицу, обратную данной

Решение

- обратная матрица существует.

2.

Составим матрицу из :

3. Транспонируем матрицу А^*:

5. Проверку предлагается выполнить самостоятельно.

Дата добавления: 2015-07-26