Арифметические операции над степенными рядами

Поскольку любой функциональный ряд, в том числе и степенной, в каждой фиксированной точке области его сходимости обращается в сходящийся числовой ряд, то арифметические операции, рассмотренные ранее для числовых рядов (см. раздел 1) распространяются и на эти ряды. При этом операции сложения, умножения ряда на число, перемножение и деление рядов осуществляются по тем же правилам, что и для числовых рядов.

Применение арифметических операций над рядами позволяет расширить возможности разложения функций в степенные ряды с использованием табличных или уже известных разложений.

Пример 5.7. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Р е ш е н и е. Используя правило перемножения рядов (1.9) и табличные разложения (5.17) и (5.18), получим:

Нетрудно проверить, что общий член полученного ряда имеет вид , при этом разложение

имеет место на всей числовой оси, так как разложения (5.17) и (5.18) справедливы при .

Пример 5.8. Функцию разложить по степеням разности .

Р е ш е н и е. Так как

,

то, положив и воспользовавшись разложением (5.20), получим:

.

Поскольку разложение (5.20) верно при , то область сходимости полученного степенного ряда к заданной функции определяется неравенством , откуда .

Задание 5.6. Разложить в ряд Маклорена следующие функции:

а) ; б) .

Ответы: а) , ; б) , .

Задание 5.7. Функцию разложить в ряд по степеням и найти область сходимости полученного ряда к этой функции.

Ответ: , .

Дата добавления: 2015-07-26