Степенных рядов

Функциональный ряд вида

,

где - некоторые числа (коэффициенты ряда), а - функция, определенная на некотором промежутке, называется обобщенным степенным рядом.

С помощью подстановки этот ряд приводится к обычному степенному ряду

.

Тогда, если интервал сходимости последнего ряда описывается неравенством , то для нахождения области сходимости исходного обобщенного степенного ряда следует решить неравенство относительно переменной .

Пример 5.3. Найти область сходимости ряда

(5.5)

Р е ш е н и е. Исследуемый ряд представляет собой обобщенный степенной ряд. Положив , получим степенной ряд

(5.6)

с радиусом сходимости

.

В граничной точке полученный ряд (5.6) обращается в расходящийся числовой ряд Далее, поскольку для всех , то область сходимости ряда (5.6) определяется неравенством . Тогда, возвращаясь к переменной , получим неравенство , откуда , или . Последнее неравенство и определяет область сходимости исследуемого обобщенного степенного ряда (5.5).

Задание 5.2. Найти область сходимости ряда

Ответ: , .

Дата добавления: 2015-07-26