Алгебраические дополнения

В определителе

= =

выделим элемент . Затем сложим те слагаемые определителя, которые в качестве сомножителя имеют элемент , и вынесем его за скобки. Величина, оставшаяся в скобках, обозначается через и называется алгебраическим дополнением элемента в определителе .

Свойство 10. Определитель равен сумме произведений всех элементов любого из его столбцов (или строк) на их алгебраические дополнения.

Доказательство. Так как в каждое слагаемое определителя входит элемент из -го столбца и притом только по одному разу, то

= = .

Аналогично получаем, что = .

Свойство доказано.

Формулы

= , =

называются разложением определителя по элементам j -го столбца и по элементам -ой строки соответственно.

Свойство 11.

Доказательство. При получаем свойство 10. Пусть и – алгебраические дополнения элементов j -го столбца. Так как в алгебраическое дополнение входит (n-1) элементов определителя, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, кроме той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент , то в алгебраическое дополнение элементы ой строки и j – го столбца не входят. Заменим j- ый столбец определителя на произвольный столбец из n чисел

D = ,

получим определитель, который, очевидно, равен числу

= .

Теперь ясно, что если вместо столбца D взять любой столбец, кроме столбца с номером j, определителя , то получим определитель с двумя равными столбцами, которых, как выше было доказано, равен нулю. Свойство доказано.

Дата добавления: 2015-07-26