Теорема Лапласа

Определение. Минором k -го порядка определителя называется определитель, состоящий из тех его элементов, которые стоят на пересечении фиксированных k строк и меняющихся k столбцов, а остальные элементы, которые не принадлежат ни этим k строкам и не этим k столбцам, образуют определитель (n – k) - го порядка, который называется дополнительным минором. Если k = 1, то дополнительный минор совпадает с обычным минором M .

Пример. Найти все миноры второго порядка и их дополнительные миноры для определителя

Решение. Фиксируем первые две строки. Два столбца можно выбрать следующими способами: первый и второй; первый и третий; второй и третий. И тогда получаем три минора второго порядка:

, , .

Теперь фиксируем первую и третью строки. Два столбца можно выбрать следующими способами: первый и второй; первый и третий; второй и третий. И тогда получаем три минора второго порядка:

, , .

Фиксируем вторую и третью строки. Два столбца можно выбрать следующими способами: первый и второй; первый и третий; второй и третий. И тогда получаем три минора второго порядка:

, , .

Таким образом, всего получилось девять миноров, для которых дополнительными минорами соответственно являются девять определителей первого порядка: 2,0,-3, 1,5,4, 0,2,3.

Определение. Алгебраическим дополнением минора называется его дополнительный минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строк и столбцов определителя, в которых стоит исходный минор, четная, и со знаком минус, если нечетная.

Пример. В определителе

найти алгебраическое дополнение для минора .

Решение. В составлении этого минора участвуют первые две строки и первые два столбца. После их удаления остается определитель , который является алгебраическим дополнением для минора , так как сумма номеров строк и столбцов равна 1 + 2 +1 +2 = 6(четное число).

Пример. Для минора определителя

=

найти его алгебраическое дополнение.

Решение. В составлении этого минора участвуют строки с номерами 1 и 3 и столбцы с номерами 2 и 3.Сумма всех этих номеров равна 1 +3 +2 +3 = 9 (нечетное число). После удаления всех этих строк и столбцов из определителя остается определитель

.

Алгебраическое дополнение для минора определителя

= равно (-1) .

Теорема Лапласа. Определитель n -го порядка равен сумме произведений всех его миноров k – порядка, стоящих в выделенных k строках, на их алгебраические дополнения.

Эту теорему принимаем без доказательства.

Пример. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель

.

Решение. Фиксируем строки с номерами 2 и 4. Из шести миноров второго порядка только один не равен нулю, это . После удаления строк (второй и четвертой)и столбцов (третьего и четвертого) получается определитель . Следовательно,

= (-1) .= (4 -2)(-1)(3 – 4) = 2.

Пример. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель

= .

Решение. Разложив данный определитель по первым трем фиксированным строкам по теореме Лапласа, получаем:

= .= 7 = - 14.

Пример. Представить определитель

=

в виде произведения двух определителей.

Решение. По теореме Лапласа получаем, что = ,

где

= , = .

Очевидно, пользуясь теоремой Лапласа, можно один определитель умножить на другой определитель.

Тесты

1. Чему равен определитель ?

Ответ: 1) 3; 2) 7; 3) 6; 4) 42.

2. Чему равен определитель ?

Ответ: 1) 3; 2) 12; 3) 6; 4) 42.

3. Чему равен определитель ?

Ответ: 1) 3; 2) 12; 3) 6; 4) 0.

4. Найти сумму корней уравнения:

= 0.

Ответ: 1) 3; 2) 1; 3) 5; 4) 2.

Дата добавления: 2015-07-26