Теорема 1

(Достаточные условия существования экстремума). Пусть функция , непрерывная вместе со своими частными производными первого и второго порядков в некоторой окрестности точки удовлетворяет условиям (1).

Обозначим .

Тогда в точке функция :

1) имеет минимум, если и ;

2) имеет максимум, если и ;

3) не имеет экстремума, если

Доказательство Ради краткости доказательство проведем для случаев 1 и 2. Согласно формуле Тейлора, взятой для , с учетом условий (1) имеем:

(2)

где

В силу непрерывности вторых частных производных в точке следует, что

.

Поэтому в силу свойств непрерывных функций для достаточно малых имеем:

В силу неравенств (3) и (4) равенство (2)можно представить в виде:

или дополняя до полного квадрата, в виде:

Выражение во внешних скобках в силу неравенства (5) положительно. Поэтому 1) если (а тогда в силу неравенства (3) и ), то , и следовательно, в точке минимум; 2) если (а тогда в силу неравенства (4) и ), то , и следовательно, в точке максимум.

Рассматривая второй дифференциал (2) в рассматриваемой точке он представляет собой однородный многочлен второй степени или, как говорят квадратичную форму от переменных и исследуя эту форму на знакоопределенности, мы получаем ещё одно необходимое и достаточное условие:

Дата добавления: 2015-07-20