Замечание 1. Экстремум функции двух переменных

Экстремум функции двух переменных

Необходимые условия существования экстремума.

Понятие максимума и минимума можно распространить и на случай функции нескольких переменных (здесь для случая двух переменных).

Говорят, что функция имеет в точке максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности и отличных от точки выполняется неравенство:

,

или

.

Теорема 1

(Необходимые условия существования экстремума). Если функция имеет в точке экстремум и в этой точке существуют частные производные и то

(1)

Доказательство. Из определения экстремума следует, что , рассматриваемая как функция одной переменной , при также имеет экстремум. Поэтому . Аналогично получаем равенство: .

Замечание 1

Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции можно записать ещё и так:

,

в самом деле так как, если , то каковы бы ни были , всегда выполняется

. ()

И обратно: если в данной точке тождественно выполняется условие (), то в виду произвольности производные порознь также равны нулю.

Для случая более двух переменных соответственно имеем

и

Дата добавления: 2015-07-20