Дополнениями

Определение. Минором определителя называется определитель, получаемый из данного определителя удалением (вычеркиванием) из него одной строчки и одного столбца.

Если удаляются строка с номером i и столбец с номером j, то минор обозначается символом . Очевидно, что порядок минора на единицу меньше порядка исходного определителя.

Теорема 1. 2. Алгебраическое дополнение и минор связаны формулой .

Доказательство. Пусть дан определитель

= = .

Докажем сначала теорему для случая i = j = 1. Сумма всех членов, содержащих элемент , имеет вид:

.

Отсюда видно, что

= ,

где w – число инверсий в перестановке ( … ), а значит, и в перестановке:

( … ).

Таким образом, получаем, что:

.

Пусть теперь – произвольные номера строки и столбца определителя . Последовательно перемещая строки и столбцы в определителе , получим определитель , в котором число находится в его левом верхнем углу.

На основании доказанного выше имеем равенство

= ,

связывающее алгебраическое дополнение и минор определителя . Общее число перестановок строк и столбцов в определителе равно w = i -1 +j -1 = i +j -2, поэтому (-1) Следовательно, имеет место равенство = (-1) . Далее, очевидно, что . Но и , поэтому Что и требовалось доказать.

На основании последнего равенства можно записать формулу разложения определителя по элементам j- го столбца и по элемента i -той строки в виде

= = , = = .

Дата добавления: 2015-07-26