Свойства определителей

Определение. Действие над определителем, в результате которого первая его строка становится первым его столбцом, вторая его строка становится вторым его столбцом и так далее, последняя его строка становится последним его столбцом называется транспонированием.

Например, определители

,

получаются один из другого транспонированием.

Свойство 1. При транспонировании определитель не меняется.

Доказательство. По определению

= = ,

где (j j j …j … j …j ) перестановка из номеров столбцов определителя. Определитель, получаемый из транспонированием равен

= .

Этот определитель можно записать так:

= ,

где b .= a . Произвольное слагаемое определителя имеет вид:

(-1) a a …a , где - некоторая подстановка из чисел 1,2,3,…n, а u и v – числа инверсий соответственно в ее нижней и в верхней строках. Так как b .= a , то можно написать:

(-1) a a …a = (-1) b b …b .

Но правая часть этого равенства является слагаемым определителя .

Таким образом, слагаемые определителя совпадают со слагаемыми определителя , точно так же слагаемые определителя совпадают со слагаемыми определителя , а значит, и сами определители совпадают. Свойство доказано.

Следствие. Всякое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк. Это позволяет в формулировках свойств определителя слово строка заменять на слово столбец и наоборот.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов определителя его знак меняется на противоположный, а его абсолютная величина сохраняется.

Доказательство. Пусть дан определитель

.

Поменяв столбцы с номерами k и l, получим новый определитель

.

Запишем этот определитель иначе:

= ,

где a = b для i = 1,2,…,n, j = 1,2,…,n, причем, b = a , b = a (i = 1,2,…, n; j = 1,2,…, n), а остальные элементы определителей и совпадают.

Пусть (-1) a a …a - произвольный член определителя , где r – число инверсий в перестановке номеров строк (i i …i …i …i ). Переставляя местами i и i , получаем перестановку (i i …i …i …i ). Так как одна транспозиция меняет ее четность, то найдется такое нечетное число t, что выполнится равенство r = r + t, где r, r – числа инверсий в этих перестановках соответственно. Следовательно, (-1) = (-1) (-1) =- (-1) . И так как

,

то получим

(-1) … … … = -(-1) … … … .

Меняя местами сомножители и , получим

(-1) … … … =

= – [(-1) … … … ].

Таким образом, слагаемые определителя совпадают со слагаемыми определителя , точно так же и слагаемые определителя совпадают со слагаемыми определителя , а значит, и сами определители совпадают.

Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.

Доказательство. Переставляя местами два одинаковых столбца в определителе , мы опять получаем тот же определитель , но по предыдущей теореме получаем число (-1) . Следовательно, = - , 2 = 0. Поэтому = 0. Что и требовалось доказать.

Пусть

D = , Р = , Q = –

произвольные столбцы чисел и и – произвольные числа, и D = Р + Q. В этом случае столбец D называется линейной комбинацией столбцов Р и Q. Последнее равенство равносильно системе равенств: , где

Свойство 4. Если некоторый k-й столбец определителя является линейной комбинацией столбцов P и Q, т.е.

= + ,

то

=

=

= +

+ .

Доказательство. По определению,

= (-1) … … … .

В каждом слагаемом этого определителя имеется точно один сомножитель , но = . Следовательно,

= (-1) …( … … =

= (-1) … … … +

+ (-1) … … … .

Т.е. = , где

,

.

Свойство доказано.

Свойство 5. Общий множитель элементов столбца (строки) можно выносить за знак определителя.

Справедливость свойства вытекает из свойства 4 при

Свойство 6. Если один столбец (строка) определителя состоит целиком из нулей, то и сам определитель равен нулю.

Справедливость свойства вытекает из свойства 4 при и = 0, а также из того, что в каждое слагаемое определителя в качестве сомножителя войдет ноль.

Свойство 7. Если все элементы k -го столбца определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то его можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все столбцы, кроме k -го, такие же, как в исходном определителе, а k- й столбец первого из них состоит из первых слагаемых, а во втором – из вторых.

Справедливость свойства вытекает из свойства 4 при и = 1.

Свойство 8. Если в определителе имеются два пропорциональных столбца (строки), то он равен нулю.

Свойство верно на основании того, что коэффициент пропорциональности можно вынести за знак определителя и что определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.

Свойство 9. Определитель не изменится, если к любому его столбцу прибавить произвольную линейную комбинацию остальных его столбцов.

Справедливость свойства вытекает из того, что исходный определитель можно представить в виде суммы этого определителя и определителей с пропорциональными строками, которые равны нулю.

Дата добавления: 2015-07-26