Определители

Определение. Определителем n – го порядка называется число, обозначаемое символом,

которое равно

,

где суммирование производится по всем различным между собой подстановкам

.

Отметим, что первая строка этой подстановки состоит из различных номеров строк определителя, а вторая строка состоит из различных номеров столбцов определителя. В сумме

,

т.е. в определителе, содержится n! слагаемых, при этом в каждом из них ровно n сомножителей (по одному из каждой строки и из каждого столбца определителя). Так как перестановка столбцов в подстановке на ее четность (нечетность) не влияет, то в ее первой строке номера строк определителя расположим в порядке возрастания и тогда u = 0, а определитель запишем в виде

= ,

где суммирование производится по всем перестановкам номеров столбцов определителя. Таким образом, чтобы вычислить определитель, надо найти n! его слагаемых, в каждом из которых содержится в качестве сомножителей точно по одному числу из каждой его строки и из каждого его столбца (всего n штук) и определить знак (-1) слагаемых.

Пример. Пользуясь определением определителя, вычислить определитель

= .

Решение. = (-1) 1 = 6, остальные 23 слагаемых равны 0.

Вычислять определители, пользуясь только определением, достаточно сложно, ведь даже для определителя четвертого порядка надо в общем случае вычислять 24 слагаемых и определять их знак, но как будет показано ниже, определители можно вычислять более легким способом.

Дата добавления: 2015-07-26