Исследование систем линейных алгебраических уравнений

В предыдущих параграфах мы выяснили, что система линейных уравнений с неизвестными может иметь единственное решение, может иметь бесчисленное множество решений (неопределенная), может не иметь ни одного решения (несовместная) и познакомились с некоторыми методами решения таких систем.

Например, система не имеет решений, т.е. несовместна;

система имеет единственное решение х =2; у = -1;

система имеет бесчисленное множество решений при ∞ < t < ∞.

Напомним, что прежде чем решать систему уравнений, имеет смысл исследовать эту систему, т.е. выяснить ответы на следующие вопросы:

1) Совместна ли система?

2) Если система совместна, то, сколько решений она имеет – одно или несколько?

3) Как найти все решения системы?

Для систем уравнений малой размерности при ответы на эти вопросы можно получить, пользуясь формулами Крамера:

1) если основной определитель системы ∆ ≠ 0, то система совместна и имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера;

2) если ∆ = 0, а хотя бы один из вспомогательных определителей ∆_і ≠ 0 (і = 1, 2,...n), то система несовместна, т.е. не имеет решений;

3) если же ∆ = 0 и все ∆_і = 0, а хотя бы один из коэффициентов системы уравнений a_{i j} ≠ 0 (і, j = 1,2…n), то система неопределенная и имеет бесчисленное множество решений.

Сложнее решаются вопросы исследования и решения системы уравнений с большим количеством уравнений и неизвестных, особенно в случае .

Легко разрешить эти вопросы можно с помощью понятия ранга матрицы.

Дата добавления: 2015-07-26