Производные показательной функции и обратных тригонометрических функций.

27)Производная сложной функции. Логарифмическая производная.

Производная сложной функции

Пусть x=x(t) - функция, дифференцируемая в точке , y=f(x) - функция, дифференцируемая в точке , причем =x( ). Тогда y=f(x(t)) - сложная функция независимого переменного t, дифференцируема в точке и ее производная в этой точке вычисляется по формуле .

Обычно f называют внешней функцией, а x - внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.

Пример производной сложной функции

Найти производную функции y = (2x³ + 5)⁴.
Решение: Обозначим 2x³ + 5 = u; тогда y = u⁴. По правилу дифференцирования сложной функции имеем: y' = (u⁴)'_u (2x³+5)'_x = 4u³(6x²) = 24x²(2x³ + 5)³.

Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная от логарифма этой функции:

(ln y)' = y'/y. Её применение значительно упрощает вычисление производных некоторых функций (например, сложнопоказательных).

Пример. Вычислить производную функции

пользуясь формулой, вытекающей из правила дифференцирования сложной функции:

Дата добавления: 2015-07-26