Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Последовательность называют бесконечно малой (б.м), если она имеет предел, равный нулю. Примеры бесконечно малых последовательностей: , , .

На логическом языке

Бесконечно малые последовательности обладают следующим свойством.

Теорема 1. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть , - ограничена: (константу с, очевидно, можно считать > 0). Нам нужно доказать, что .

Выберем произвольное , тогда в силу сходимости для числа найдется номер N, начиная с которого выполнено неравенство . Но тогда для получаем ,

Т.е. .

Среди расходящихся последовательностей выделяют особый класс последовательностей - бесконечно большие (б.б). Определе­ние их таково: последовательность называют бесконечно большой, если каково бы ни было число Е>0, найдется номер N, начиная с которого все элементы последовательности удовлетворяют неравенству .

Таким образом, как бы ни был велик интервал (-Е, Е), все элементы бесконечно большой последовательности, начиная с неко­торого номера лежат вне этого интервала.

Теорема 2. Последовательность, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой(если -б.б и , то -б.м).

Доказательство. Последовательность -б.б, следовательно, : ,

А это означает что -б.м последовательность.

Теорема 3. Если бесконечно малая последовательность не содержит нулевых элементов, то обратная ей последовательность является бесконечно большой.

Дата добавления: 2015-07-26