Понятие производной функции. Геометрическая и физическая интерпретация производной.

Определение: Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Понятие: Пусть функция определена на интервале . Зафиксируем произвольное из этого интервала и зададим приращение аргумента такое, что точка по-прежнему принадлежит интервалу . Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , называется число: Составим отношение: . Здесь фиксировано, а будем считать переменным.

Физический смысл производной. Приведем пример из механики: если - время, – координата точки на прямой, - закон движения точки, то – мгновенная скорость этой точки.

Геометрический смысл

На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло серая линия C). Расстояние устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

23)Необходимое условие существования производной.

Необходимым условием является непрерывность в точке.

Теорема: если функция имеет в некоторой точке x производную, то - непрерывна в этой точке.

Доказательство: По условию существует в точке x, то есть или, иначе
. Таким образом функция как функция аргумента (при фиксированном x) – бесконечно малая при . Обозначим эту функцию :

(1)

Здесь

Умножив обе части равенства(1) на , получим:

Устремим в последнем равенстве к нулю: (оба выражения в скобках бесконечно малые функции)

Итак: в точке x, но это и есть разностная форма непрерывности в точке x. Теорема доказана.

24)Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций.

Правила дифференцирования:

25)Производные степенной, логарифмической и тригонометрических функций.

26)Обратная функция. Производная обратной функции. Производные показательной функции и обратных тригонометрических функций.

Обратная функция. Пусть функция задана на множестве Х и имеет множество значений Y, причем отличные от соответствуют различные . Будем считать Y областью определения новой функции и пусть она устанавливает соответствия между теми же парами чисел (х,у), что и , т.е , то . Функция называется обратной по отношению к

Производная обратной функции

Пусть - непрерывная функция, монотонная на интервале . Функция имеет обратную функцию , которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале , в который функция переводит интервал . Пусть -- фиксированная точка и

-- точка, ей соответствующая. Тогда.

Теорема: Пусть функция имеет в точке производную Тогда обратная функция имеет в соответствующей точке производную , которую можно отыскать по формуле:

=

Доказательство. Дадим аргументу приращение , такое что , и рассмотрим соответствующее приращение , определяемое равенством . Тогда, очевидно, .; при этом , а из монотонности функции следует, что . Поскольку как функция , так и функция непрерывны, то условия и эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции и запишем для него очевидное равенство:

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при и учтём, что при этом :

что мы и хотели доказать.

Дата добавления: 2015-07-26