Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Понятие производной функции. Геометрическая и физическая интерпретация производной.

Читайте также:
  1. I. 1. 1. Понятие о психологии
  2. I. 1. 3. Понятие о сознании
  3. II. 4.1. Понятие о личности в психологии 1 страница
  4. II. 4.1. Понятие о личности в психологии 2 страница
  5. II. 4.1. Понятие о личности в психологии 3 страница
  6. II. 4.1. Понятие о личности в психологии 4 страница
  7. II. 5.1. Общее понятие о группах и коллективах

Определение: Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Понятие: Пусть функция определена на интервале . Зафиксируем произвольное из этого интервала и зададим приращение аргумента такое, что точка по-прежнему принадлежит интервалу . Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , называется число: Составим отношение: . Здесь фиксировано, а будем считать переменным.

Физический смысл производной. Приведем пример из механики: если - время, – координата точки на прямой, - закон движения точки, то – мгновенная скорость этой точки.

Геометрический смысл

На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло серая линия C). Расстояние устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

 

23)Необходимое условие существования производной.

Необходимым условием является непрерывность в точке.

Теорема: если функция имеет в некоторой точке x производную, то - непрерывна в этой точке.

Доказательство: По условию существует в точке x, то есть или, иначе
. Таким образом функция как функция аргумента (при фиксированном x) – бесконечно малая при . Обозначим эту функцию :

(1)

Здесь

Умножив обе части равенства(1) на , получим:

Устремим в последнем равенстве к нулю: (оба выражения в скобках бесконечно малые функции)

Итак: в точке x, но это и есть разностная форма непрерывности в точке x. Теорема доказана.

 

24)Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций.

   

Правила дифференцирования:

 

25)Производные степенной, логарифмической и тригонометрических функций.

     

 

 

26)Обратная функция. Производная обратной функции. Производные показательной функции и обратных тригонометрических функций.

Обратная функция. Пусть функция задана на множестве Х и имеет множество значений Y, причем отличные от соответствуют различные . Будем считать Y областью определения новой функции и пусть она устанавливает соответствия между теми же парами чисел (х,у), что и , т.е , то . Функция называется обратной по отношению к

Производная обратной функции

Пусть - непрерывная функция, монотонная на интервале . Функция имеет обратную функцию , которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале , в который функция переводит интервал . Пусть -- фиксированная точка и

-- точка, ей соответствующая. Тогда.

Теорема: Пусть функция имеет в точке производную Тогда обратная функция имеет в соответствующей точке производную , которую можно отыскать по формуле:

=

Доказательство. Дадим аргументу приращение , такое что , и рассмотрим соответствующее приращение , определяемое равенством . Тогда, очевидно, .; при этом , а из монотонности функции следует, что . Поскольку как функция , так и функция непрерывны, то условия и эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции и запишем для него очевидное равенство:

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при и учтём, что при этом :

что мы и хотели доказать.

 

 


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 256 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Теорема о существовании точных граней у ограниченных числовых множеств. | Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. | Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности. | Функция | Предел функции | Примеры. | Решение. | Теорема ФЕРМА. | Правило Лопиталя |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Теорема 4 (свойства бесконечно малых функций).| Производные показательной функции и обратных тригонометрических функций.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)