Предел функции

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности {Xn} такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

17 Предел функции на бесконечности и бесконечный предел. Односторонние пределы.

Односторонние пределы. Если в определении предела функции по Гейне наложить на последовательность Х_n, условие X_n > a (Х_n< a) вместо условия Х_n а, то мы получим определение правого (левого) предела y=f(x), который обозначается f(x) ( f(x)).

Пример. Функция y=sign x имеет в нуле правый и левый пределы: sign x=+1

sign x= -1

В самом деле, если X_n – любая сходящаяся к нулю последовательность значений аргумента, элементы которой больше нуля (X_n >0), то sign X_n = 1 и поэтому sign X_n =1. Таким образом, sign x=1. Аналогично доказывается, что = -1. Отметим, что вместо 0+0(0-0) иногда пишут 0+(0-) или +0(-0).

Предел функции в бесконечности. Запись f(x)=b означает, что для всех достаточно больших по абсолютной величине значений x значения функции отличаются от b достаточно мало. Строгое определение предела в бесконечности выглядит следующим образом.

Определение. Число b называется пределом функции y=f(x) при xà , если для любого >0 найдется D>0 такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству | x | >D, выполняется неравенство: | f(x) – b| < .

Если в данном определении потребовать, чтобы значения x были положительны (отрицательны), т.е. заменить условие | x | >D на x> D (x< -D), то мы получим определение предела f(x) ( f(x)). Заметим, что если f(x) = f(x) = b, то f(x)=b.

Пример. Докажем, что 2^-x =0. Для любого фиксированного >0 возьмем D= log₂ 1/ , тогда |f(x)-b| = |2^-x – 0| = 2^-x < 2 ^ (- log₂ 1/ ) = , x >D.

Бесконечные пределы. Запись f(x) = означает, что для всех x , достаточно близких к a, значения функции по абсолютной величине достаточно велики. Ниже приведем строгое определение.

Определение. Предел функции равен бесконечности в точке x=a, если для любого E > 0 найдется такое > 0, что для всех x , удовлетворяющих неравенству 0 < |x-a| < , выполняется неравенство |f(x)| > E.

Если наложить условие f(x) > 0 (f(x)<0), то мы придем к определению предела f(x) = + ( f(x) = - );

В этом случае неравенство |f(x)| > E в данном выше определении заменится на f(x)>E (f(x)< - E)

Пример. Докажем, что ln|x| = - . В самом деле, пусть E >0 – любое фиксированное число; возьмем = e^-E , тогда при |x-0| <

F(x) = ln|x| < ln = -E.

Это означает, что f(x) = - .

Функция, предел которой в данной точке равен называется бесконечно большой в этой точке.

18 Замечательный предел

Предел sin x / x существует и равен единице.

Доказательство. Начнем с обоснования одного неравенства, которое потребуется нам при доказательстве, для чего проведем следующие геометрические построения. На окружности единичного радиуса с центром О возьмем точку А и проведем прямую через О и А, затем отложим угол, равный Х радиан (0< x < ), от вектора OA в положительном направлении (против часовой стрелки) при этом точка A перейдет в точку M. Обозначим также через B точку пересечения касательной в точке A с продолжением прямой OM. Соединим точку A и M отрезком прямой. Вычислим площади трех фигур, изображенных на рисунке1.

Рисунок 1.

Площадь треугольника OMA равна ½ |OM|*|OA|*sin x = ½ sin x (половина произведения сторон на угол между ними); площадь сектора OMA равна x/2 (половина центрального угла): площадь треугольника OBA равна ½|OA|*|OB|*sin x = ½*1/cos x * sin x=1/2*tg x.

Фигуры вложены друг в друга, поэтому их площади удовлетворяют неравенствам:

S_OMA <S_сект.OMA<S_OBA, т.е.

½ sin x < x /2<tg x (0< x < ). Умножая эти неравенства на 2, деля на sin x, получаем

1< x / sin x< 1/ cos x.

Наконец, заменяя все части неравенства на обратные величины, имеем

Cos x <sin x / x< 1 (0< x < ).

Это же неравенство справедливо и при - < x <0, в чем легко убедиться, заменив x на – x.

Теперь перейдем собственно к доказательству. Пусть X_n - произвольная последовательность X_n, но такая, что имеем X_n =0, X_n 0 cos X_n < sin X_n / X_n<1.

Пусть nà . Докажем, что cos X_n =1. Используя формулу 1-cos = 2sin² /2 и неравенство |sin t|<=t, справедливо для любых t, имеем

| cos X_n -1| = 2sin² X_n/2 <= 2*(X_n/2)^2 à0, à , следовательно, по теореме о предельном переходе в неравенстве, cos X_n =1.

Теперь в неравенстве cos X_n < sin X_n / X_n<1 устремим nà . И правая, и левая его части стремятся к 1, поэтому по теореме о трех последовательностях sin X_n / X_n =1.

Поскольку X_n – произвольная, то по определению предела последовательности по Гейне

sin X_n / X_n =1.

Дата добавления: 2015-07-26