Теорема о существовании точных граней у ограниченных числовых множеств.

Точные грани множеств. Теорема о существовании точных граней (без

Доказательства).

Если любой элемент х множества Х удовлетворяет неравенству x≤b, то b называется верхней гранью множества Х. Очевидно,если верхняя грань существует, то их бесконечно много: любое число b', большее b, также является верхней гранью множества X, т.к., если выполено неравенство x≤b, то неравенство x≤b' также выполнено. Наименьшая из всех верхних граней носит специальное название — точная верхняя грань.

Точной верхней гранью числового множества Х называется наименьшая из всех верхних граней этого множества.

Эквивалентное определение.Число M называется точной верхней гранью множества X, если

выполнены следующие условия: 1) M является верхней гранью Х; 2) каково бы ни было положительно число є, в множестве Х найдется элемент х', больший M- є. Точная верхняя грань X имеет спец. обозначение: M=sup X.

M=sup X <=> { 1) ∀ x ∈ X: x≤M

2) ∀є>0∃ x ' ∈ X: x '>M − є.

Точной нижней гранью числового множества X называется наибольшая из всех нижних граней этого множества.

Эквивалентное определение. Число m называется точной нижней гранью множества Х, если выполнены следующие условия: 1) m является нижней гранью X; 2) каково бы ни было положительное є >0, среди элементов множества Х найдется элемент x, меньший, чем m+ є

. Точная нижняя грань имеет спец. обозначение: m=inf X.

M=inf X <=>{ 1)∀ x∈ X: x≥M

2) ∀є>0∃ x ' ∈ X: x '<m+ є

Теорема о существовании точных граней у ограниченных числовых множеств.

Всякое ограниченное сверху (снизу) непустое числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Геометрическая интерпретация.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f (x), x принадлежит N,где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n) или y ₁, y ₂,…, y_n,…. Значения y ₁, y ₂, y ₃,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n ² можно записать:

y ₁ = 1² = 1;

y ₂ = 2² = 4;

y ₃ = 3² = 9;… y_n = n ²;…

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a + ; a - ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | u_n | M для всех n. Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

4. =0 - доказать, используя определения предела.

Зададим произвольное є >0 и убедимся в том, что существует номер N, начиная с которого модуль разности между Xn и a меньше ε, т.е. |1/n – 0|< ε. Для этого определим, какие n удовлетворяют последнему неравенству: |1/n|< ε <=> 1/n<ε <=> n>1/ε. Итак, получается, что если номер элемента больше, чем 1/ε, то модуль разности |1/n – 0| между Xn и предполагаемым пределом меньше ε. Поэтому в качестве номера N, начиная с которого выполнено неравенство |Xn – a |<ε, можно взять любой, больший числа 1/ε, например N=[1/ε]+1 нельзя; здесь проделано вот что: вычислена целая часть [1/ε] числа ε, т.е. отброшены знаки после запятой, а затем добавлена 1). Итак, мы доказали, что

∀ε>0∃ N=([1/ ε]+1)∀ n≥N:∣ 1/n−0∣<ε, т.е. lim _{n → ∞}1/n=0.

5. Теорема о единственности предела.

Если последова­тельность имеет предел, то он единственный.

Доказательство проведем методом "от противного". Пусть

последовательность имеет два предела и ,

Выберем числа и настолько малыми, что интервалы

и не пересекаются.

Так как , то вне интервала

содержится конечное число элементов последовательности, но тогда внутри

тоже конечное число элементов, что невозможно, так как

(ведь если - предел, то в любой окрестности элементов

бесконечно много согласно тому же замечанию). Противоречие дока­зывает теорему. Итак, предел единственен.

6. Ограниченная последовательность.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число с > 0, что для любых n выполняется неравенство

Теорема об ограниченности сходящейся последователь­ности

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство. Пусть последовательность сходится к a.

Зададим и выберем N так, что для всех n N (это возможно в силу определения предела последовательности). Теперь рассмотрим разность . Используя неравенство для модулей, имеем , что, в свою очередь, меньше для n N. Итак, мы доказали, что < 1 или < , n=N, N+1,…., т.е. последовательность ограничена, начиная с номера N. Оста­лись нерассмотренными первые N-1 элементов, но это множест­во, как и всякое конечное, ограничено:

Пусть с - наибольшее из чисел {|a|+1, |x₁|,|x₂|,….,

Тогда неравенство |x_n| < с выполнено для всех n (при n.= 1,2,...,N-1). Итак .

---

Дата добавления: 2015-07-26