Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности.

Всякая возрастающая числовая последовательность {Xn} имеет предел: конечный, если она ограничена сверху и бесконечный, если она неограниченна сверху, причём lim Xn = sup {Xn} (x>>бесконечность)

Аналогично если {Xn} – убывающая последовательность, то сущ-ут конечный или бесконечный предел lim Xn = inf {Xn} (x>>бесконечность)

И следовательно этот предел конечен, если последовательность {Xn} ограничена снизу, и бесконечен, если она неограниченна снизу

13. Последовательность = и предел .

Теорема: Последовательность x_n=(1+1/n)ⁿ сходится. Док-во:

x_n = (1+1/n)ⁿ = 1+ n/1 * 1/n + n(n-1)/2! * 1/n² +... + (n(n-1)(n-2)...(n(n-1)))/n! * 1/nⁿ = 2 + 1/2! * (1-1/n) + 1/3! *(1-1/n)(1-2/n)+... + 1/n!*(1-1/n) * (1-2/n) +... + (1- n-1/n).

Так же поступим с x_n+1=(1+1/n+1)ⁿ⁺¹. x_n+1 = 2 + 1/2! *(1-1/n+1) + 1/3! *(1-1/n+1)(1-2/n+1)+... + (1/(n+1)!) *(1-1/n+1)(1-2/n+1) *... * (1- n/n+1).

Убеждаемся что x_n<x_n+1. Доказываем что x_n ограничено сверху, а т.к. существует ограничение, то последовательность сходится.

Предел lim (1+1/x)^x существует и равен натуральному числу e.

Дата добавления: 2015-07-26