Теоремы о равносильных неравенствах

Теорема 1. Читается так же как теорема 1 о равносильности уравнений, в силе и все следствия из теоремы 1 (см. § 6 этой главы).

Теорема 2. Пусть неравенство ¦(x) < j(x)определено на некотором множестве А и w(x)выражение, определенное на этом же множестве А (или на В, таком, что А Í В), тогда

1) если (" x Î А) (w(x) > 0),то неравенства

¦(x) < j(x)(1)

и ¦(x) × w(x) < j(x) × w(x) (2)

равносильны;

2) если (" x Î A)(w(x) < 0),то неравенства

¦(x) < j(x) (1')

и¦(x) × w(x) > j(x) × w(x) (2')

равносильны.

Доказательство пункта 1).

Обозначим через Е ₁ и Е ₂ множества решений неравенств (1) и (2) соответственно. Докажем, что Е ₁= Е _2.

1. Пусть а произвольное решение неравенства (1), т.е. а Î Е ₁,тогда высказывание ¦(а) < j(а)истинно, а Е ₁Í А, w(а) – числовое выражение, причем w(а) > 0, тогда по свойству числовых неравенств высказывание

¦(а) × w(а) < j(а) × w(а)истинно, а это означает, что а Î Е₂ и Е₁ Í Е₂.

2. Пусть теперь в Î Е₂, т.е. ¦(в) × w(в) < j(в) × w(в) – истинное высказывание, т.к. w(в) > 0, то по свойству числовых неравенств можно записать (¦(в) × w(в)) × 1 / w(в) < (j(в) × w(в)) × 1 / w(в)или ¦(в) < j(в) истинно, а это означает, что в Î Е ₁и Е ₂Í Е _1.

Итак, Е ₁ Í Е ₂и Е ₂Í Е ₁, значит Е ₁= Е _2.

Доказательство пункта 2) теоремы аналогично.

Следствия из теоремы 2:

1) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получим неравенство, равносильное исходному.

2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и при этом поменять знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное исходному.

3) Если поменять знаки обеих частей неравенства и знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное исходному.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Какие способы решения систем уравнений Вы знаете?

Решите систему уравнений (любым способом):

а) в)

б) г)

2. Решите уравнения:

а) = 18; в) = 3,5;

б) = 5; г) = 6.

3. Решите неравенство и объясните, какими теоремами о равносильных неравенствах вы пользовались:

4. Решите систему неравенств:

ГЛАВА XVI

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Предметом аналитической геометрии является изучение фигур (множество точек) методами алгебры. Одним из наиболее эффективных способов представления точек в виде чисел является введение системы координат. Его суть заключается в том, что точкам на прямой, плоскости или в пространстве приписываются по определенному закону числа, благодаря чему свойства фигур можно изучать, исследуя свойства этих чисел средствами алгебры.

Простейшей системой координат является числовая ось. К ней мы обращались, устанавливая, например, взаимно однозначное соответствие между действительными числами и точками прямой. Прямая линия одномерна, а плоскость двумерна. В аналитической геометрии существуют различные двумерные системы координат: прямоугольная, полярная, косоугольная и др. Наиболее удачной оказалась прямоугольная система координат. Ее также называют прямоугольной декартовой в честь математика Рене Декарта[7]. В аналитической геометрии широко применяются трехмерные (пространственные) системы координат: декартова, цилиндрическая, сферическая и др. Мы ограничимся изучением аналитической геометрии на плоскости.

§ 1. Метод координат на плоскости

Выберем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу с указанными на них положительными направлениями. Прямые Ох и Оу называют координатными осями, точку О – началом координат. Обычно полагают, что ось Ох горизонтальна, а ось Оу вертикальна относительно наблюдателя, положительное направление на Ох слева направо, на Оу – снизу вверх (рис. 1).

Возьмем теперь некоторую единицу масштаба, с помощью которой будут производиться все измерения на плоскости хОу.

Совокупность координатных осей Ох, Оу и выбранной единицы масштаба называют декартовой прямоугольной (или кратко прямоугольной) системой координат на плоскости.

Произвольной точке М плоскости поставим в соответствие два числа (рис. 1):

а) абсциссу х, равную расстоянию точки М от оси Оу, взятому со знаком «+», если М лежит правее Оу, и со знаком «–», если М лежит левее Оу;

б) ординату у, равную расстоянию точки М от оси Ох, взятому со знаком «+», если М лежит выше Ох, и со знаком «–», если М лежит ниже Ох.

Абсциссу х и ординату у называют декартовыми прямоугольными (или кратко прямоугольными) координатами точки М. Обозначение М (х; у) означает: точка М с абсциссой, равной х, и ординатой, равной у.

Рис. 1 Рис. 2

Отметим, что каждой точке плоскости соответствует одна пара действительных чисел х и у (ее координат). Верно и обратное: каждой паре действительных чисел х и у соответствует одна точка плоскости. Это означает, что на плоскости положение произвольной точки М полностью определяется ее координатами х и у.

Координатные оси Ох и Оу разбивают плоскость на I, II, III и IV квадранты (координатные углы, четверти). При этом если точка
М (х; у) лежит на оси Оу, то х = 0; если М (х; у) лежит на оси Ох, то
у = 0. На рисунке 2 построены точки М ₁ (2; 1), М ₂ (–4; 3), М ₃ (–4; –2) и М ₄ (0; –2).

§ 2. Основные задачи, решаемые методом координат

1) Задача о расстоянии между двумя точками.

Найдем расстояние d между двумя данными точками М ₁ (х ₁; у ₁) и
М ₂ (х ₂; у ₂) (рис. 3). Из прямоугольного треугольника M ₁ NM ₂ по теореме Пифагора .

Из курса геометрии известно, что расстояние d между точками А и В, расположенными на координатной прямой (оси), вычисляется по формуле , где х_А и х_В – координаты точек А и В этой прямой. Тогда . Поэтому

. (1)

Рис. 3 Рис. 4

П р и м е р. Найти расстояние между точками А (–1; –2) и
В (–4; 2). По формуле (1) имеем .

2) Задача о делении отрезка в данном отношении.

Пусть даны М ₁ (х ₁; у ₁) и М ₂ (х ₂; у ₂). Требуется найти точку
М (х; у), лежащую на отрезке М ₁ М ₂ и делящую его в данном отношении

. (2)

Опустим из точек М ₁, М и М ₂ перпендикуляры на ось Ох (рис. 4). По известному предложению из элементарной геометрии о пересечении сторон угла параллельными прямыми получим .

При выбранном расположении точек имеем .

Поэтому заданное отношение (2) принимает вид , откуда

. (3)

Аналогично

. (4)

В частности, если , т.е. при делении отрезка М ₁ М ₂ пополам, получаем , .

П р и м е р. Вычислить координаты точки М (х; у), делящей отрезок М ₁ М ₂ между точками М ₁ (1; 1) и М ₂ (4; 7) в отношении .

Согласно формулам (3) и (4) имеем:

.

§ 3. Уравнение линии на плоскости

Прямоугольная система координат позволяет задавать различные линии на плоскости их уравнениями.

Определение. Уравнением линии на плоскости в прямоугольной системе координат называют уравнение с переменными х и у, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки плоскости, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у уравнения линии называют текущими координатами.

Уравнение линии не обязательно задается в виде . Иногда его можно разрешить относительно переменной у, т.е. привести к виду . Линия вполне характеризуется своим уравнением, т.е. линия, определяемая уравнением есть множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Таким образом, линии могут быть определены двумя способами: 1) геометрическим свойством; 2) уравнением.

В зависимости от способа задания линии в аналитической геометрии возникают задачи двух видов.

1. Линия задана геометрически. Требуется найти ее уравнение.

2. Линия задана своим уравнением. Требуется изучить ее геометрические свойства.

Практически приходится решать обе задачи: сначала по какому-то одному свойству линии находить ее уравнение, а затем с помощью этого уравнения изучать другие свойства этой линии. Вычерчивать линию иногда удобнее исходя из геометрического свойства, а иногда – из уравнения.

§ 4. Различные уравнения прямой

Прямую линию можно задавать различными уравнениями. Одно из них уравнение прямой с угловым коэффициентом y = kx + b, где
k – угловой коэффициент, b – начальная ордината, было рассмотрено в главе XIII (§ 15).

Напомним, что уравнением с угловым коэффициентом может быть задана любая прямая на плоскости, не параллельная оси ординат.

Рассмотрим другие уравнения прямой.

а) Общее уравнение прямой.

Уравнение первой степени

Ах + Ву + С = 0 (1),

в котором коэффициенты А и В одновременно не равны нулю, называют общим уравнением прямой.

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Каждая прямая на плоскости с прямоугольной декартовой системой координат определяется уравнением первой степени, и наоборот: каждое уравнение первой степени определяет прямую на плоскости.

Доказательство. 1) Пусть дана прямая, не параллельная оси ординат. В этом случае прямая описывается уравнением с угловым коэффициентом , которое является частным случаем уравнения (1) при .

Пусть теперь прямая параллельна оси Оу. Тогда ее уравнение запишется в виде х = а. Это равнение тоже частный случай уравнения (1) при А = 1, В = 0, С = – а. Итак, любая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени.

2) Покажем теперь, что произвольному уравнению первой степени (1) (А и В одновременно не равны нулю) соответствует некоторая прямая на плоскости.

Действительно, если , то уравнение (1) можно преобразовать в уравнение , т.е. в уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой . Если В = 0, то А ¹ 0 и уравнение (1) преобразуется к виду , т.е. в уравнение прямой, параллельной оси Оу. Теорема доказана.

б) Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку.

Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей данный угловой коэффициент k. Уравнение этой прямой имеет вид . Так как искомая прямая проходит через точку М ₁, то . Вычитая из первого равенства второе равенство, получаем . Это и есть уравнение искомой прямой.

П р и м е р. Уравнение прямой, проходящей через точку М (–1; 8), с угловым коэффициентом k = 1 есть у – 8 = х + 1, или х – у + 9 =0.

в) Уравнение прямой в отрезках.

Предположим, что в общем уравнении прямой (1) и . Перенеся в нем С в правую часть и разделив обе части полученного уравнения на – С, получим или . Отсюда, вводя обозначения , приходим к уравнению .

Это уравнение называют уравнением прямой в отрезках. Это название объясняется тем, что числа а и b определяются отрезками ОА и ОВ, которые прямая отсекает на осях координат (рис. 5). Такой вид уравнения удобен для построения прямой.

Рис. 5

Заметим, что прямые, параллельные координатным осям, и прямые, проходящие через начало координат, не могут быть записаны уравнениями в отрезках.

П р и м е р. Записать уравнение прямой 2 х + 5 у – 10 = 0 в отрезках и построить эту прямую. Перепишем данное уравнение в виде
2 х + 5 у = 10, откуда и, значит, . Наконец, откладываем на осях координат отрезки и через их концы (5; 0) и (0; 2) проводим прямую.

§ 5. Угол между двумя прямыми

Рассмотрим на плоскости две прямые и с углами наклона к оси Ох соответственно j₁ и j₂ (рис. 6).

j

Рис. 6

Углом между прямыми l ₁ и l ₂ называют угол – наименьший угол, на который надо повернуть первую прямую l ₁ вокруг точки пересечения М против часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой l ₂ (0 £ j < p).

Из рисунка 6 видно, что . Поэтому

или (1).

Формула (1) дает выражение тангенса между двумя прямыми через угловые коэффициенты этих прямых.

Если прямые l ₁ и l ₂ параллельны, то и, следовательно, , т.е. параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты. Обратно, пусть угловые коэффициенты прямых l ₁ и l ₂ равны, т.е. , то по формуле (1) получим , значит j = 0. Следовательно, прямые. l ₁ и l ₂ параллельны. Итак, необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых. l ₁ и l ₂ записывается так:

l ₁ || l ₂ (2).

Пусть , т.е. l ₁ и l ₂ взаимно перпендикулярны. В этом случае , откуда или , т.е. угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Обратно, пусть для угловых коэффициентов прямых l ₁ и l ₂ выполняется условие . Тогда в формуле (1) и tgj не существует, значит . Следовательно, прямые l ₁ и l ₂ взаимно перпендикулярны. Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых l ₁ и l ₂ записывается так:

(3).

П р и м е р. Найти две прямые, проходящие через начало координат, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна к прямой . Так как искомые прямые проходят через точку (0; 0), то их уравнения имеют вид . Для данной прямой k = 2, и отсюда, на основании условий параллельности (2) и перпендикулярности (3) прямых, получаем . Значит, уравнение прямой параллельной к прямой у = 2 х – 3, имеет вид у = 2 х; уравнение прямой, перпендикулярной к прямой у = 2 х – 3 имеет вид .

§ 6. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Если две прямые l ₁ и l ₂ лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1) пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.

Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:

.

Если прямые l ₁ и l ₂ пересекаются в некоторой точке М (х; у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям. Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l ₁ и l ₂, надо решить систему уравнений

(1)

Умножая первое из них на А ₂, а другое на А ₁ и затем вычитая полученные равенства, будем иметь .

Аналогично получаем .

Если , то получаем решение системы уравнений (1):

(2)

Это и есть координаты х и у точки пересечения прямых l ₁ и l ₂. Итак, если , то эти прямые пересекаются.

Если

(3),

то выражения для х и у не имеют смысла. В этом случае прямые l ₁ и l ₂ параллельны. Действительно, из условия (3) следует, что , т.е. k ₁ = k ₂ (если же В ₁ = В ₂ =0, то прямые l ₁ и l ₂ параллельны оси Оу и, следовательно, параллельны между собой).

Из школьного курса геометрии известно, что параллельные прямые могут совпадать. Выясним, каков аналитический признак совпадения прямых l ₁ и l ₂, заданных своими общими уравнениями. Пусть известно, что . Но пропорциональность коэффициентов означает, что уравнения системы (1) равносильны. Следовательно, рассматриваемые параллельные прямые совпадают. Если же выполняется условие , то система (1) не будет иметь решений (по крайней мере одно из равенств (2) будет невозможным). В этом случае параллельные прямые l ₁ и l ₂ не будут совпадать.

П р и м е р 1. Прямые и пересекаются, так как 2 · (–1) – 3 × (–3) = 7 0. координаты точки пересечения согласно (2) , .

П р и м е р 2. Прямые и параллельны (они не совпадают), так как .

П р и м е р 3. Прямые и совпадают, так как .

§ 7. Расстояние от точки до прямой

Решим следующую задачу: найти расстояние d от точки М ₀ (х ₀; у ₀) до прямой .

Под расстоянием d от точки М ₀ (х ₀; у ₀) до прямой l понимается длина перпендикуляра, опущенного из М ₀ на l.

Предположим, что прямая l не параллельна ни одной из координатных осей Ох и Оу. Так как угловой коэффициент прямой l есть , то уравнение перпендикуляра к прямой l, проходящей через точку М ₀ (х ₀; у ₀) (рис. 7), запишется в виде или

.

Пусть М ₁(х ₁; у ₁) – точка пересечения перпендикуляра с прямой l.

Тогда Ах ₁ + Ву ₁ + С = 0,

и

.

Найдем значения .

Для этого, переписав равенство в виде , решим систему уравнений

относительно . Имеем

,

.

Подставив эти значения в формулу для определения d, окончательно получаем:

(1).

Можно показать, что эта формула (1) верна и в тех случаях, когда прямая l параллельна одной из координатных осей.

П р и м е р. Найти расстояние от точки М ₀ (–6; 3) до прямой l

(3 х – 4 у + 15 = 0). По формуле (1) получаем:

.

§ 8. Уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса

Прямые линии являются линиями первого порядка, т.е. уравнение прямой линии содержит х и у только в первой степени. Естественно, что следующими по сложности линиями, которые изучает аналитическая геометрия, являются линии второго порядка, т.е. такие линии, уравнение которых в прямоугольной системе координат содержит х и у во второй степени:

,

где A, B, C, D, E, F – некоторые действительные числа, называемые коэффициентами уравнения, причем по крайней мере один из коэффициентов А, В или С отличен от нуля.

К числу линий второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола. Они играют большую роль в математике, естествознании и технике.

Эти линии объединяет не только то, что они могут быть описаны уравнениями второй степени относительно х и у в прямоугольной системе координат, а и то что они могут быть получены сечением прямого кругового конуса плоскостями. Рассмотрим сечения прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину (рис 8). Если плоскость пересекает конус перпендикулярно его оси, то линия пресечения будет окружностью. Если плоскость пересекает лишь одну полость конуса, не будучи параллельной ни одной из образующих, то линия пересечения будет эллипсом. Если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, то линия пересечения будет параболой.

В том случае, когда плоскость пересекает обе полости конуса, линия пересечения будет гиперболой.

а) Уравнение окружности выведено нами в главе XV (§ 8). Оно имеет вид: , где М (а; b) – центр окружности, r – ее радиус.

б) Каноническое уравнение эллипса.

Определение. Эллипсом называют множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек F ₁ и F ₂ (называемых фокусами эллипса) есть величина постоянная, равная 2 а.

Выведем каноническое уравнение эллипса. Для этого выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ее ось Ох проходила через фокусы F ₁ и F ₂ (расстояние между фокусами обозначим 2 с), а начало координат находилось в середине отрезка F ₁ F ₂ (рис.9). Тогда фокусы будут иметь координаты .

Пусть М (х; у) – произвольная точка эллипса. Согласно определению эллипса имеем или, по формуле расстояния между двумя точками (см. §2 этой главы), . Это и есть уравнение эллипса в выбранной системе координат. Приведем его к простейшему виду. Перенося один из радикалов вправо, получим . Возведем теперь обе части последнего равенства в квадрат:

,

откуда .

Возведем в квадрат обе части последнего равенства:

,

откуда .

Заметим, что , так как 2 а > 2 c или a > c (сумма двух сторон треугольника больше третьей его стороны). Поэтому, обозначив через b ², получаем .

Деля обе части последнего равенства на a ² b ², окончательно получаем

. (*)

Формула (*) и есть каноническое (наиболее простое в выбранной системе координат) уравнение эллипса.

Эллипс, отвечающий уравнению (*), изображен на рисунке 9. Так как уравнение (*) содержит текущие координаты х и у только в четных степенях, то при замене х на – х, а у на – у это уравнение не изменяется, т.е. эллипс симметричен относительно обеих осей координат. Из уравнения (*) при у = 0 получаем х = ± а, т.е. эллипс пересекает ось Ох в двух точках А (а; 0) и А ₁ (– а; 0); при х = 0 получаем
у = ± b, т.е. эллипс пересекает ось Оу в двух точках В (0; b) и B ₁ (0;– b). Эти четыре точки называют вершинами эллипса. Отрезок А ₁ А называют большой осью эллипса, а отрезок В ₁ В – его малой осью. Следовательно, а – длина большой полуоси эллипса, b – длина его малой полуоси.

В частном случае, когда а = b, уравнение (*) принимает вид и определяет окружность с центром в начале координат. В этом случае с = 0.

Эксцентриситетом эллипса (e) называют отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси, т.е. .

Так как c < a, то для любого эллипса будет (случай соответствует окружности). Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса. Действительно, из и того, что , следует и, значит, .

Отсюда видно, что чем больше e, тем меньше отношение и тем больше вытянут эллипс.

Задание полуосей а и b или эксцентриситета e и расстояния между фокусами 2 с определяет эллипс с центром в начале координат с точностью до поворота на произвольный угол.

П р и м е р. Найти параметры а, b, c и e, эллипса, заданного уравнением . Для этого приведем данное уравнение к каноническому виду . Отсюда следует, что , , .

§ 9. Каноническое уравнение гиперболы

Определение. Гиперболой называют множество всех точек плоскости, разность расстояний каждой из которых до двух данных точек F ₁ и F ₂ (называемых фокусами гиперболы) есть величина постоянная, равная 2 а. Обозначим через 2 с расстояние между фокусами F ₁ и F ₂ (рис. 10).

Пусть М (х; у) – произвольная точка гиперболы. Тогда по определению или . Эти условия, определяющие гиперболу, можно записать в виде .

Заметим, что a < c, так как 2 a < 2 c, что следует из определения гиперболы.

Далее вывод канонического уравнения гиперболы проводится аналогично выводу канонического уравнения эллипса.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

, (*)

где .

Гипербола, отвечающая уравнению (*), изображена на рис. 10. Подобно эллипсу гипербола симметрична относительно обеих осей координат. Она состоит из двух частей, которые называют ее ветвями. Из уравнения (*) при у = 0 получаем х = ± а, т.е. гипербола пересекает ось Ох в двух точках А (а; 0) и А ₁ (– а; 0), называемых вершинами гиперболы, отрезок А ₁ А называют вещественной осью гиперболы.

Прямые называют асимптотами гиперболы. При увеличении х по абсолютной величине ветви гиперболы все ближе прилегают к своим асимптотам. Для построения асимптот гиперболы целесообразно предварительно построить прямоугольник со сторонами 2 а и 2 b, параллельными координатным осям и с центром в начале координат (такой прямоугольник называется основным прямоугольником гиперболы).

Эксцентриситетом гиперболы называют отношение . Так как , то для любой гиперболы . Учитывая, что , имеем: и, значит, .

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, т.е. чем ближе он к единице, тем больше вытянут основной прямоугольник по оси Ох.

Если у гиперболы a = b, то гиперболу называют равносторонней (или равнобочной) и ее уравнение имеет вид . В этом случае, повернув систему координат относительно ее начала на 45°, получают новую систему координат, в которой уравнение гиперболы приобретает знакомый нам вид: у = а / х.

Асимптотами для равносторонней гиперболы служат взаимно перпендикулярные прямые у = ± х.

§ 10. Каноническое уравнение параболы

Определение. Параболой называют множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F (называемой фокусом параболы) и от данной прямой l (называемой директрисой параболы).

Для вывода канонического уравнения параболы проведем ось Ох прямоугольной системы координат через фокус F перпендикулярно директрисе (AL), начало координат О поместим на равных расстояниях от фокуса и директрисы (рис. 11). Расстояние от фокуса до директрисы обозначим через р (оно называется параметром параболы). В этом случае фокус будет иметь координаты , а уравнение директрисы AL будет .

Возьмем произвольную точку параболы. Согласно определению параболы имеем (точка А имеет координаты ) или по формуле расстояния между двумя точками . Отсюда или и окончательно: . (*)

Формула (*) и есть каноническое уравнение параболы. Парабола, отвечающая уравнению (*), изображена на рис. 11.

Уравнение (*) имеет смысл только для неотрицательных значений х, т.е. все точки параболы лежат в I и IV квадрантах. Так как уравнение (*) содержит у ², то парабола симметрична относительно оси Ох. Вершиной параболы называют точку пересечения параболы с ее осью симметрии (см. рис. 11). При возрастании х значения у возрастают по абсолютной величине. В отличие от гиперболы парабола не имеет асимптот. Ось симметрии параболы называют осью параболы.

Парабола, определяемая уравнением (*), имеет ось, совпадающую с осью Ох. Очевидно, что парабола, симметричная относительно оси Oу, определяется уравнением х ² = 2 р у (или ). Уравнение такого вида мы получали, упрощая уравнение, задающее квадратичную функцию.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (–3, 4) и наклонной к оси Ох под углом в 135 °.

2. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку (1, 2) параллельно прямой 2 х – 3 у + 1 = 0.

3. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку (–1, 1) перпендикулярно к прямой 3 х – у + 2 = 0.

4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (2, –1) и составляющей угол в 45° с прямой 5 х – 2 у + 3 = 0.

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых х + у – 1 = 0, х – у + 2 = 0 и через точку (2, 1).

6. Написать уравнение окружности, зная, что:

а) центр окружности лежит в точке (–2, –3) и радиус ее равен 3;

б) центр лежит в точке (2, –3) и окружность проходит через точку (5, 1);

в) концы одного из диаметров имеют координаты (3, 9) и (7, 3).

7. Составить каноническое уравнение эллипса, зная что:

а) полуоси его равны соответственно 5 и 4;

б) расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10;

в) малая полуось равна 2 и расстояние между фокусами равно 6;

г) большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 0,6;

д) малая полуось равна 6 и эксцентриситет равен 0,8;

е) эксцентриситет равен 0,8 и расстояние между фокусами равно 8;

ж) сумма полуосей равна 10 и расстояние между фокусами равно .

8. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что:

а) полуоси ее равны соответственно 5 и 4;

б) расстояние между фокусами равно 14, а расстояние между вершинами 12;

в) действительная полуось равна 5 и эксцентриситет равен 1,4;

г) расстояние между фокусами равно 16 и эксцентриситет равен ;

д) действительная полуось равны и гипербола проходит через точку (5, –2);

е) гипербола проходит через точки () и .

9. Написать каноническое уравнение параболы, если:

а) осью симметрии является ось Ох, вершина лежит в начале координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4;

б) парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через точку (2, –4), вершина ее лежит в начале координат;

в) парабола симметрична относительно оси Оу, фокус лежит в точке (0, 3) и вершина с началом координат.

ГЛАВА XVII

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

При определении числовых функций в алгебре каждому числу х из некоторого множества (области определения) ставилось в соответствие единственное число f (x) – значение функции f в точке х.

В геометрии рассматриваются функции иного рода, называемые геометрическими преобразованиями. В отличие от алгебраических эти функции каждой точке плоскости ставят в соответствие определенную (другую) точку. Среди геометрических преобразований выделяют перемещения (движения): симметрия относительно прямой (оси), параллельный перенос, поворот и центральная симметрия. Выделяют преобразования подобия: гомотетия, подобие. Существуют более общие преобразования: аффинные, проективные и др. В пособии будут рассмотрены лишь движения и подобия.

§ 1. Понятие преобразования на плоскости

Определение. Любое взаимно однозначное отображение f множества А на себя называют преобразованием этого множества.

Определение. Пусть задано преобразование f плоскости и пусть Ф – некоторая фигура в этой плоскости. Фигуру, состоящую из образов всех точек фигуры Ф, называют образом фигуры Ф и обозначают ; фигуру Ф называют прообразом фигуры при данном преобразовании. Говорят также, что фигура Ф преобразуется в фигуру , и пишут:

В силу взаимной однозначности преобразования f плоскости каждая принадлежащая ей фигура имеет единственный образ в этой плоскости и, напротив, каждую фигуру данной плоскости можно рассматривать как образ вполне определенной фигуры Ф этой плоскости.

Преобразование плоскости определяется обычно некоторым правилом, условием, соглашением относительно того, как именно по данной точке найти ее образ.

Приведем несколько примеров задания преобразований плоскости:

1. Каждой точке плоскости ставится в соответствие эта же точка. Такое преобразование называют тождественным и обозначают обычно Е.

2. Пусть в плоскости задан вектор . Сопоставим каждой точке М такую точку , что (рис. 1). Определенное таким образом преобразование называют параллельным переносом плоскости и обозначают , или просто .

Рис. 1

3. Пусть в плоскости задана прямая р. Чтобы найти образ точки М, проводим из М перпендикуляр MN к прямой р и строим середину отрезка MN (рис. 2). Такое преобразование называют сжатием данной плоскости к прямой р в отношении 1: 2.

Рис. 2

Если в данном преобразовании f плоскости a точка М имеет образом точку , то в силу биективности отображения f точка должна иметь единственный прообраз М. Следовательно, вместе с преобразованием f определяется еще и такое отображение плоскости a на себя, при котором . Легко заметить, что такое отображение также взаимно однозначно, т.е. является преобразованием плоскости a. Его называют обратным преобразованием к f и обозначают . Итак, мы принимаем следующее

Определение. Преобразование , обратное к данному преобразованию f, задают условием: если .

В качестве примера рассмотрим преобразования, обратные приведенным в примерах 1-3.

1. Преобразование, обратное тождественному, есть также тождественное преобразование.

2. Преобразование, обратное параллельному переносу , есть параллельный перенос .

3. Для того, чтобы по точке , полученной из М сжатием к прямой р в отношении 1: 2, найти точку М, надо провести из точки перпендикуляр N к прямой р и построить точку М так, чтобы выполнялось соотношение . Это преобразование также называют сжатием к прямой р, но уже в отношении 2: 1.

Преобразования плоскости, вообще говоря, могут существенно изменять как форму, так и размеры геометрических фигур. Преобразования, сохраняющие размеры, а следовательно, и форму геометрических фигур, называют перемещениями (движениями). Перемещениями являются такие простейшие преобразования плоскости как симметрия, перенос, поворот.

Преобразование, которое приводит к изменению размеров фигуры при сохранении ее формы, называют подобием.

§ 2. Симметрия относительно прямой

Определение. Симметрией S_l относительно прямой l называется преобразование плоскости, при котором образом точки является точка (этой же плоскости), что: 1) ; 2) точка – середина отрезка (рис. 3).

Рис. 3

Прямую l называют осью симметрии. Если точка , то , т.е. каждая точка, принадлежащая l, является двойной точкой преобразования симметрии; других точек плоскости, обладающих этим свойством, нет.

Докажем с помощью метода координат, что симметрия относительно прямой: 1) преобразует прямую в прямую; 2) сохраняет расстояние между точками.

Примем ось симметрии за ось Ох прямоугольной декартовой системы координат. Тогда образом точки А (х; у) при этой симметрии служит точка (х; – у) (рис. 4).

1) Пусть прямая q определяется уравнением ax + by + c = 0, то образом этой прямой будет множество точек , где , определяемое уравнением , т.е. некоторая прямая .

2) Пусть – две произвольные точки плоскости, а точки – их образы. Тогда

.

Определение. Если при симметрии относительно прямой l некоторая фигура F отображается на себя, то прямую l называют осью симметрии этой фигуры.

Так каждый диаметр окружности является осью симметрии этой окружности; каждая прямая, перпендикулярная данной прямой, является осью симметрии этой прямой; каждая высота правильного треугольника является его осью симметрии.

§ 3. Параллельный перенос

Определение. Пусть – некоторый вектор плоскости. Преобразование, при котором каждой точке А плоскости ставится в соответствие такая точка этой же плоскости, что , называют параллельным переносом и обозначают: или же .

При параллельном переносе: 1) прямая отображается на параллельную ей прямую; 2) сохраняются расстояния между точками. Докажем это. Предварительно введем обозначения.

Если – образ точки А (х; у), то, по определению, . Но вектор имеет при наших обозначениях координаты (рис. 5).

Следовательно, если = (m; n), то . Значит координаты образа выражаются через координаты х, у прообраза при параллельном переносе = (m; n) следующими формулами:

1) Пусть q – некоторая прямая, заданная уравнением ax + by + c =0. Подставляя в это уравнение вместо х и вместо у, получим: a () + b () + c = 0. Следовательно, координаты связаны зависимостью, выражаемой уравнением первой степени

.

Это и означает, что множество образов точек прямой q есть также некоторая прямая . При этом коэффициенты при переменных в уравнениях прямых соответственно равны, так что прямые q и параллельны.

2) Если – две произвольные точки и и – их образы, то

, так что

.

§ 4. Поворот. Центральная симметрия

Определение. Пусть заданы точка О – центр поворота и некоторый ориентированный угол a. Тогда поворотом вокруг точки О на угол a называют преобразование, при котором каждой точке А плоскости ставится в соответствие такая точка этой плоскости, что 1) ; 2) угол равен углу a и ориентирован так же, как угол a. Поворот на угол a обозначают .

С помощью метода координат убедимся, что при повороте: 1) прямая отображается на прямую; 2) сохраняются расстояния между точками.

Выберем начало координат прямоугольной декартовой системы хОу в центре поворота.

1) Пусть . Если обозначить угол между осью Ох и вектором через b (рис. 6), то угол между осью Ох и вектором будет равен углу a + b.

Поэтому .

Аналогично . А так как , то

Решая эту систему относительно х и у, получим:

Значит, образом прямой ax + by + c = 0 будет фигура, определяемая уравнением , т.е. прямая.

2) Нетрудно про

Дата добавления: 2015-07-18