Некоторые роды алгебр

Множество Х с заданными на нем алгебраическими операциями принято называть алгеброй.

Рассмотрим множество Z целых чисел, в нем определены ассоциативная алгебраическая операция – сложение (сумма двух любых целых чисел – целое число). Причем (x + y)+ z = х + (у + z); в множестве Z есть нейтральный элемент (это 0) и симметричный элемент (для х симметричным элементом является противоположное число – х) относительно сложения. В этом случае говорят, что множество Z (целых чисел) образует группу относительно операции сложения.

Определение. Непустое множество G называют группой, если выполняются следующие условия:

1) в G определена алгебраическая операция *;

2) алгебраическая операция * ассоциативна;

3) в G содержится нейтральный е относительно операции *;

4) вместе с каждым элементом х множество G содержит и симметричный ему элемент х ^-1.

Группы, в которых операция * коммутативна, называют коммутативными группами. В коммутативных группах обычно операцию * обозначают + и называют сложением, нейтральный элемент обозначают 0 и называют нулем, а симметричный к х элемент обозначают – х и называют противоположным х.

В множестве Z целых чисел определены две алгебраические операции – сложение и умножение. Относительно операции сложения это множество является коммутативной группой, причем операция умножения дистрибутивна относительно сложения. Такие множества с двумя алгебраическими операциями часто встречаются в математике. Для таких множеств имеет место следующее определение.

Определение. Множество Х, в котором определены две алгебраические операции * и ○, называют кольцом относительно этих операций, если выполнены следующие условия:

1) множество Х образует коммутативную группу относительно операции *;

2) операция ○ дистрибутивна относительно операции *.

Например, множество Z – кольцо относительно операций сложения и умножения. Его называют числовым кольцом. Чтобы проверить, что данное числовое множество образует числовое кольцо, достаточно проверить, что вместе с любыми двумя числами х и у оно содержит их сумму и произведение, а вместе с каждым числом х – противоположное ему число – х.

Остальные свойства кольца вытекают из того, что сложение и умножение чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение дистрибутивно относительно сложения. Всякое числовое кольцо является областью целостности: если ху = 0, то или х = 0, или у = 0.

Множество четных чисел тоже является числовым кольцом (докажите самостоятельно).

Определение. Коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей, в котором для любого отличного от нуля элемента х найдется обратный элемент х ^-1 (т.е. такой, что х · х ^-1 = е), называют полем.

Таким образом, алгебра (Q; +, ·) является полем; алгебра (Z; +, ·) является кольцом; алгебры (Q; +), (Q ₊; ·) являются группой.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Относительно каких операций (сложение, вычитание, умножение, деление) замкнуты следующие множества: а) натуральных чисел; б) нечетных чисел; в) положительных рациональных чисел; г) {3 n + 1 | n Î Z }?

2. Какие из следующих операций в множестве Z целых чисел ассоциативны: а) сложение; б) вычитание; в) умножение; г) операция а * в = 3 а – 2 в?

3. Какие из следующих операций в множестве Z коммутативны:

а) сложение; б) вычитание; в) умножение; г) операция а * в =
= 3 а + 2 в?

4. Найдите на множестве Q рациональных чисел операцию, обратную алгебраической операции а * в = а + в + ав.

5. Для каждого из числовых множеств определите, является ли оно кольцом: а) множество целых чисел, кратных пяти; б) множество нечетных целых чисел; в) множество действительных чисел.

Дата добавления: 2015-07-18