Алгебраической - формах.

Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

.

Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

.

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

,

Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

,

Параметр , соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр - комплексом мгновенного значения.

Параметр является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ±a.

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “ j” произведения комплекса амплитуды и оператора поворота :

.

В указанных выражениях: u, i — мгновенные значения напряжения и тока (т. е. значения в данный момент времени t); U_m, I_m — наибольшие значения (амплитуды); ω — угловая частота; φ_u — начальная фаза напряжения; φ — сдвиг по фазе тока относительно напряжения; значения (ωt + φ_u), (ωt + φ_u - φ) называют фазами напряжения и тока. Фаза — величина, определяющая состояние колебательного процесса в каждый момент времени. Мгновенные значения обозначают строчными латинскими буквами u, i.

Наиболее простое графическое изображение синусоидальных величин получается в виде временной диаграммы (рис. 1).

Рис. 1. Временные диаграммы тока и напряжения

На рис. 1 начальная фаза напряжения принята φ_u = 0 с целью упрощения. Ток в фазе отстает от напряжения на угол φ ≈ 45°, т. е. u = U_m sin ωt; i = I_m sin (ωt - 45°). Отстающий угол φ откладывается от начала координат вправо по оси времени t. На первый взгляд может показаться, что на рис. 1 ток i опережает по фазе напряжение и, т. к. он смещен по оси времени t вправо (как бы бежит впереди напряжения). Противоречие устраняется, если рассмотреть моменты переходов через нуль тока и напряжения: ток пересекает ось времени t позже, чем напряжение.

Обычно потребители работают с отрицательным φ (φ < 0), т. е. с отстающим по фазе током.

Амплитудные (наибольшие мгновенные на данном периоде) значения синусоидальных величин обозначают +U_m, -U_m; +I_m, -I_m, в зависимости от знака напряжения или тока (положительный или отрицательный).

Интервал времени, за который величина совершает полное колебание, т. е. после которого форма повторяется, называют периодом колебания Т.

Частота тока измеряется в герцах, Гц.

1 Гц соответствует одному колебанию в секунду.

При f = 50 Гц Т = 0,02 с или 20 миллисекунд (мс).

Угловая частота ω связана с частотой в соответствии с выражением ω = 2πf, 1/с, где π ≈ 3,14. При f = 50 Гц ω = 314 1/с.

Более абстрактное изображение синусоидальных величин получается с помощью векторов на комплексной плоскости.

Из математики известно, что существуют действительные и мнимые числа. Мнимым числом называют величину, получаемую после извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Если на плоскости провести две взаимно перпендикулярные оси, одна из которых соответствует действительному числу, а другая — мнимому, то точки плоскости будут представлять собой комплексные числа, а плоскость будет называться комплексной. Комплексную плоскость разбивают осями координат на 4 части (квадранта). Ось +1 — вещественная или действительная ось. Ось +j — мнимая ось. Точка 0 — начало координат. Синусоидальные токи и напряжения изображают в виде вращающихся против часовой стрелки с угловой частотой ω векторов Ú_m, Í_m, длины (модули) которых равны амплитудам I_m, U_m. Векторы удобно строить для момента времени t = 0.

Рис. 2. Векторные диаграммы тока и напряжения

26. Уравнения, описывающие зависимость мгновенных значений ЭДС, напряжения или тока от времени. – ДОДЕЛАТЬ111

27. Резистор в цепи синусоидального тока (1-й вопрос для билетов 27-32)

Если синусоидальное напряжение подклю­чить к резистору с сопротивлением , то через него будет протекать синусоидаль­ный ток

Следовательно, напряжение на зажимах и ток, проходящий через резистор, имеют одинаковую начальную фазу, или, как говорят, совпадают по фазе – они одновременно достигают своих амплитудных значений и соответственно одно­временно проходят через нуль.

Разность начальных фаз двух синусоид называют углом сдвига фаз. В дан­ном случае угол сдвига фаз между напряжением и током равен нулю

.

Амплитуды и действующие значения тока и напряжения связаны законом Ома

; .

Протекание тока через резистор сопровождается потреблением энергии от источников. Скорость поступления энергии характеризуется мощностью. Мгно­венная мощность, потребляемая резистором

,

изменяется с угловой частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжения и тока. Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и составляю­щую , изменяющуюся с частотой . Так как и совпадают по фазе, т.е. всегда имеют одинаковый знак, то их произведение всегда положительно, следовательно, > 0.

Среднее значение мгновенной мощности за период

называется активной мощностью и измеряется в ваттах. В данном случае актив­ная мощность

.

Отсюда активное сопротивление

.

Известно, что сопротивление проводника переменному току больше, чем постоянному, вследствие явления поверхностного эффекта.

Сопротивление проводника постоянному току определяется по известной формуле rо=ρl/S.

Это сопротивление можно также определить, зная величину постоянного тока Iо и мощность Ро:

rо = Pо / Iо²

Оказывается, что в цепи переменного тока сопротивление r того же проводника больше сопротивления постоянному току: r > rо

Это сопротивление r в отличие от сопротивления постоянному току rо и носит название активного сопротивления. Увеличение сопротивления проводника объясняется тем, что при переменном токе плотность тока не одинакова в различных точках поперечного сечения проводника. Уповерхности проводника плотность тока получается больше, чем при постоянном токе, а и центре меньше.

При высокой частоте неравномерность проявляется так резко, что плотность тока в значительной центральной чисти сечения проводника практически равна нулю, ток проходит только в поверхностном слое, отчего это явление и получило название поверхностного эффекта.

Неодинаковая плотность тока в проводе получается также из-за влияния токов в соседних проводах. Это явление называется эффектом близости.

Рассматривая магнитное поле токов одною направления в двух параллельно расположенных проводах, легко показать, что те элементарные проводники, принадлежащие разным проводам, которые наиболее удалены друг от друга, сцеплены с наименьшим магнитным потоком, следовательно, плотность тока в них наибольшая. Если токи в параллельных проводах имеют, разные направления, то можно показать, что большая плотность тока наблюдается в тех элементарных проводниках, принадлежащих разным проводам, которые наиболее сближены друг с другом.

При протекании электрического тока выделяется энергия в виде тепла или механической работы. Параметр электрической цепи, характеризующий этот процесс, называется активным сопротивлением. Количественно он определяется следующим образом. Пусть на некотором участке цепи за время Т, равное периоду переменного тока, действующее значение которого I, необратимо преобразуется в тепло или механическую работу электрическая энергия W^Т. Тогда активное сопротивление рассматриваемого участка цепи по определению равно:

На схеме активное сопротивление обозначается точно так же, как и сопротивление постоянному току (рис. 2.16). Последнее, называемое еще омическим, определяется структурой кристаллической решетки проводника и состоянием свободных электронов. Наличие вблизи каких-либо проводящих тел и ферромагнитных сердечников на омическое сопротивление не влияет.

Иначе обстоит дело при переменном токе.

При невысоких частотах сопротивление проводника мало отличается от сопротивления постоянному току. Но с повышением частоты все сильнее и сильнее сказывается поверхностный эффект, заключающийся в вытеснении переменного тока из серединных областей проводника к его поверхности. Это приводит к уменьшению сечения, занимаемого током, к увеличению сопротивления и возрастанию тепловых потерь. К аналогичным последствиям приводит и эффект близости, выражающийся в возникновении неравномерности распределения электрического тока по сечению проводника из-за действия магнитного поля соседних проводов.

Если вблизи катушки имеются ферромагнитные сердечники и какие-либо другие проводящие тела, то магнитное поле переменного тока индуцирует в них вихревые токи, что вызывает дополнительные потери энергии на нагрев. Кроме того, в переменном магнитном поле происходит непрерывное периодическое перемагничивание ферромагнитного сердечника, требующее энергетических затрат на изменение направления магнитных моментов доменов.

Таким образом, понятие активного сопротивления является более широким, по сравнению с омическим. Числитель в формуле (2.12) при переменном токе всегда больше, чем при постоянном, так как он включает в себя все перечисленные потери электромагнитной энергии на тепло. Поэтому для одной и той же электрической установки активное сопротивление переменному току всегда оказывается больше чем сопротивление постоянному току.

Мгновенные значения напряжения и тока в активном сопротивлении связаны законом Ома:

При изменении тока по синусоидальному закону

напряжение тоже синусоидально и имеет с током одинаковые начальные фазы:

Четыре последних уравнения представляют собой различные формы записи закона Ома для активного сопротивления.

По уравнениям можно записать комплексные амплитуды тока и напряжения:

Получили те же самые выражения закона Ома, но в символической форме.

На показаны волновая и векторная диаграммы, построенные по формулам.

В активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе; их начальные фазы одинаковы, угол сдвига фаз равен нулю, векторы на векторной диаграмме направлены в одну сторону (параллельны).

28. Закон Ома для мгновенных, максимальных и действующих значений тока и напряжения – ДОДЕЛАТЬ111

Волновая и векторная диаграммы.- ДОДЕЛАТЬ111

29. Энергетический процесс. Мгновенная и средняя (активная) мощности. –ДОДЕЛАТЬ111

30. Если последовательно с лампочкой включить катушку индуктивности и поочередно подключать к генератору постоянного напряжения и переменного напряжения (при этом постоянное напряжение равно действующему значению переменного напряжения), то в первом случае лампочка горит ярче, чем во втором. Следовательно, катушка индуктивности оказывает дополнительное сопротивление переменному току, которое называется индуктивным сопротивлением.

Рассмотрим участок цепи, в который включена идеальная катушка с электрическим сопротивлением провода, равным нулю, и генератор переменного напряжения (рис. 3). Пусть переменное напряжение изменяется по закону U = U 0sin wt, тогда по участку будет проходить переменный ток, в результате чего возникнет ЭДС самоиндукции, мгновенное значение которой

εsi =− LI ′=− LdIdt.

Рис. 3

По закону Ома для неоднородного участка цепи имеем

U 0sin wt − LdIdt =0. Отсюда dI = U 0 L sin wtdt.

Проинтегрировав ∫ dI = U 0 L ∫sin wtdt, получим

I =− U 0 wL cos wt = U 0 wL sin(wt − π 2)= I 0cos(wt − π 2),

где I 0= U 0 wL = U 0 XL. Величина XL = wL — индуктивное сопротивление.

Как видно из формулы, колебания силы тока на участке цепи, состоящей только из индуктивного сопротивления, отстает по фазе от колебаний напряжения на π 2, что и показано на графике и на векторной диаграмме (рис. 3).

Рис. 4

Мгновенная мощность

P = IU =− I 0 U 0sin wt cos wt =− I 0 U 02sin2 wt.

Среднее значение мощности, потребляемой идеальной катушкой от источника переменного тока за период, hPi =0.

Как и в предыдущем случае, при наличии в цепи только индуктивного сопротивления частота изменения мощности вдвойне больше частоты изменения силы тока, и на индуктивном сопротивлении электрическая энергия не превращается необратимо в другие виды. При возрастании тока энергия от генератора попадает на катушку, катушка работает в режиме потребителя, запасая энергию магнитного поля, а при его убывании — в режиме генератора, возвращая генератору запасенную энергию. Поэтому емкостное и индуктивное сопротивления в отличие от активного называют реактивными.

Мгновенными называют значения тока или напряжения в цепи, определяемые для произвольного момента времени t. Для синусоидальных значений:
i=Im sin(wt+Ψi),A
u=Um sin(wt+Ψu), B
где Im и Um– амплитудные значения тока и напряжения, Ψi и Ψu – углы сдвига фаз тока и напряжения относительно начала координат, Ψu – Ψi= φ – угол сдвига фазы тока относительно фазы напряжения.

Применение векторных диаграмм при расчете и исследовании электрических цепей переменного тока позволяет наглядно представлять рассматриваемые процессы и упрощать производимые электротехнические расчеты.

Дата добавления: 2015-07-15